偏微分方程反问题的数值解法教案(18)

偏微分方程反问题的数值解法教案

X=L0(X) L1(X) Lr(X)=Lr+1(X)=

X=N(Lr)⊕Lr(X)

考虑r=0的情况：

定理2.3.4 设A:X→X是赋范空间X上的紧算子，如果I-A是内射的(injective)，则

(I A) 1:X→X存在且有界。

推论2.3.5 设A:X→X是赋范空间X上的紧算子，如果齐次方程

φ Aφ=0

只有唯一的平凡解φ=0，则对任意的f∈X，非齐次方程

φ Aφ=f

存在唯一的解φ∈X，并且解连续依赖于f。 考虑r〉0的情况：

定理2.3.6 设A:X→X是赋范空间X上的紧算子，如果I-A不是内射的，则L的零空间

N(I A)是有限维的，且其值域(I A)X X是闭子空间。

推论2.3.7 设A:X→X是赋范空间X上的紧算子，如果齐次方程

φ Aφ=0

有非平凡解，则非齐次方程

φ Aφ=f

或者是无解的，或者是其通解有表达式

φ=+∑αiφi

i=1

m

其中φ1,φ2, ,φm是齐次方程的一组基础解，是非齐次方程的一个特解。

推论2.3.8 设S是有界线性算子且具有有界逆S。上述结果中的I-A可以用S-A来代替。

1

对无穷维的非齐次算子方程φ Aφ=f，有Fredholm理论

定义2.3.9 设X,Y是线性空间，如果

1φ1+α2φ2, =α11, +α22, , φ1,φ2∈X, ∈Y,α1,α2∈C

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