偏微分方程反问题的数值解法教案(5)

偏微分方程反问题的数值解法教案

∫

t

H(t τ)z(τ)dτ=g(t),t>0

2的解，其中H(t)=dξ 例1.5 Abel积分方程：物理中的反问题

设有一个质量为m的质点在重力mg的作用下，从铅直平面中高度为h>0处的点p1，沿着某一曲线Γ无摩擦地滑到高度为h=0处的点p0。

正问题：当曲线Γ给定后，决定从该质点p1滑到p0所需要的时间T.

反问题：假定已通过测量得出高度h和时间的关系：T=T(h)，要求决定该曲线的形状。 不妨设该曲线的表达式为x=ψ(y)，其上任一点的坐标为(ψ(y),y)。根据能量守恒定律

E+U=

可知速度v满足：

12

mv+mgy=mgh 2

ds

=v= dt

于是，有任一点p1滑到p0所需要的总时间为：

T=T(h)=∫

2

pp0

,h>0 令φ(y)=1+

ψ′(y)，且设f(h):=T(h为已知，则反问题就是由下面的Abel方程：

∫

来求φ(y)。

h

=f(h),h>0

Abel应用：地震学，利用地震波的传播时间来确定地壳运动的速度。等离子物理，用光谱法测量和计算温度，电子密度，粒子密度等。

例1.6 CT技术中的反问题

背景：Radon，1917，二维、三维的物体可由他的无限多个投影的逆变换实现重构。美国

工程师A.M.Cormack试图帮助医生不经手术了解人体内有关器官大小和组织结构变异的情况。英国工程师G.N.Hounsfield在1972年成功研制出头颅X射线断层摄影装置，并与1979年与

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