偏微分方程反问题的数值解法教案(16)

偏微分方程反问题的数值解法教案

A

φn φ≤Aφ0 φ0

1 A

这里实际上讨论的是Neumann级数构造方程迭代解的问题。 定理条件可放宽到Ak<1对某个正整数k成立。

定义2.2.16 假定线性空间X商定以了内积( , )，由

n

:=(φ,φ)1/2

定义了X上的一个范数。如果X关于这个范数是完备的，就称为Hilbert空间，否则称为准Hilbert空间。

定义2.2.17 设U X是赋范线性空间X的子集，φ∈X，元素v∈U称为φ在U上的最佳逼近，如果

φ v=inf u

u∈U

成立。即v是U上与φ距离最近的点。

定理2.2.18 设U是准Hilbert空间X的线性子空间，v∈U是φ∈X的最佳逼近

(φ v,u)=0, u∈U，即φ v⊥U，对 φ∈X，在U上最多有一个最佳逼近元素。

定理2.2.19 设U是准Hilbert空间X的完备线性子空间， φ∈X，在U上存在唯一的最佳逼近元素。

定理2.2.20 设U是准Hilbert空间X的凸的子集，v∈U是φ∈X的最佳逼近

Re(φ v,u v)=0, u∈U，对 φ∈X，在U上最多有一个最佳逼近元素。

定义2.2.21 Hilbert空间X中的序列{φn}称为弱收敛(weak convergence)于φ∈X（记为

φn φ），如果对 ∈X，有lim( ,φn)=( ,φ)

n→∞

定理2.2.22 （1）如果xn x0，则x0≤n→∞xn； （2）如果xn x0，且xn x0则xn x0 0；

（3）Hibert空间中弱收敛序列是有界的，Hilbert空间中的有界序列一定存在弱收敛的子列； （4）线性全连续算子把弱收敛的序列映射为强收敛（依范数收敛）的序列。

定义2.2.23 设X是Hilbert空间，A:X→X是有界线性算子。如果存在c>0,使得

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