偏微分方程反问题的数值解法教案(15)

偏微分方程反问题的数值解法教案

定理2.2.6 记X，Y，Z为赋范线性空间，A:X→Y，B:Y→Z是有界线性算子。由

(BA)φ:=B(Aφ), φ∈X定义的积算子BA:X→Z是有界线性算子且满足BA≤BA。

定义2.2.7 从赋范空间X到赋范空间Y的线性算子A称为是紧的，如果它把X中的任一有界集映为Y中的相对紧集。

定理2.2.8 从赋范空间X到赋范空间Y的线性算子A是紧的 对X中的任一有界序列{φn}，

{Aφn}含有Y中的收敛子列。

定理2.2.9 紧的线性算子A是有界的，紧的线性算子的线性组合是紧的。

定理2.2.10 记X，Y，Z为赋范线性空间，A:X→Y，B:Y→Z是有界线性算子，如果A或者B是紧的，积算子BA:X→Z是紧的。

定理2.2.11 X为赋范空间，Y为Banach空间，如果紧线性算子序列An:=X→Y在n→∞时依范数收敛于线性算子A:X→Y，即An A→0，则A是紧算子。

定理2.2.12 如果有界线性算子A:X→Y有有限维的值域A（X），则A是紧算子。 定理2.2.13 恒等算子I:X→X是紧的 X是有限维的。

说明有界算子未必是紧的，且紧算子不可能存在有界的逆，除非其值域是有限维的。

对第二类算子方程φ Aφ=f，如果A是压缩的（A<1），其可解性可由Neumann级数方法得到。

定理2.2.14 设A:X→X是一个压缩的有界线性算子，它把Banach空间X映到自身。

I:X→X是单位算子，则I-A在X上存在有界逆，且逆算子由Neaumann级数给出：

(I A)=∑Ak

1

k=0

∞

(I A) 1≤

其中A由A:=I,A:=AA

n

n

n 1

1

1 A

定义。

定理2.2.15 在上述定理的条件下，对任意的初值f∈X，由任意的初值φ0∈X构造的序列

φn+1=Aφn+f,n=0,1,2, ,n

收敛于φ Aφ=f的唯一解φ，并且有下面的误差估计

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