偏微分方程反问题的数值解法教案(14)

偏微分方程反问题的数值解法教案

U ∪Vj(k)。集合U X称为是列紧的（sequentially compact），如果U中任一序列含有一

k=1

n

个收敛的子列收敛到U中的元素。

定理2.1.14 赋范空间中的子集是紧的当且仅当它是列紧的。

紧集是有界的，闭的，完备的

定义2.1.15 赋范空间中的子集是相对紧的，如果他的闭包是紧的。

U是相对紧的 U中的任一序列都有一个收敛的子列（但收敛点未必在U中）

定理2.1.16 赋范空间中有界的有限维子集是相对紧的。

对R中的紧集G，记C（G）为定义于G上的连续函数，其上的范数定义为：

m

φ

∞

:=max(x)

x∈G

C（G）中的函数集合为相对紧集的条件是：

定理2.1.17 U C(G)是相对紧集 U是有界的和等度连续的。

2.2 有界算子和紧算子

定义2.2.1 算子A:X→Y，其中X，Y是两个线性空间，A称为是线性的，如果：

A(αφ+β )=αAφ+βA , φ, ∈X,α,β∈C。

定理2.2.2 线性算子是连续的 线性算子在一个元素处是连续的。

定义2.2.3 从赋范空间X到赋范空间Y的线性算子A称为是有界的，如果 C>0,使得对

φ∈X满足：Aφ

Y

≤CX

，C称为是算子A的一个界。

线性算子A是有界的 A:=supAφ=supAφ<∞ A把X中的有界集映为Y中的

=1

≤1

有界集。

A称为算子A的范数。记L（X，Y）表示由赋范线性空间X到赋范线性空间Y的全体有

界线性算子集合，L（X，Y）显然为一个线性空间。

定理2.2.4 L（X，Y）在上面的算子范数下构成一个赋范线性空间，且如果Y是Banach空间，L（X，Y）也是Banach空间。

定理2.2.5 线性算子A是连续的 A是有界的

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