偏微分方程反问题的数值解法教案(13)

偏微分方程反问题的数值解法教案

使得C1

1≤2≤C2φ对 φ∈X成立。

m

对由m个线性无关的元素{fi}i=1张成的有限维线性空间Xm=span{f1,f2, ,fm}，对

φ=∑αifi∈Xm，易验证φ

i=1

m

∞

:=maxαi是Xm上的一个范数。

i

定理2.1.6 有限维线性空间上的所有范数都是等价的。 定义2.1.7 给定 φ∈X，r>0,B(φ,r):=球，B(φ,r):=

{ψ: φ<r}称为中心在φ半径为r的一个开

{ψ: φ≤r}称为一个闭球。

定义2.1.8 对于U X，如果 φ∈U, r>0,使得B(φ,r) U，称U为X中的一个开集；如果U中任意收敛序列的极限都在U中，称U为X中的一个闭集。

U X是闭集 X\U是开集。

赋范线性空间有限维子空间是闭集。

定义2.1.9 U中所有收敛序列的极限点的集合称为U的闭包。记为。集合U称为在另一个集合V中是稠密的，如果V ，也就是说V中的任一元素都是U中一个收敛序列的极限点。

U在V中稠密，则V中任一元素可以用U的元素来逼近。

U X是闭集 U=。

定义2.1.10 U X称为是有界的，如果 C>0，使得定义2.1.11 序列

φ≤C对一切的φ∈U成立。

{φn}n=1 X

∞

称为是Cauchy列，如果 ε>0, N(ε),使得

n,m>N(ε)时φn φm≤ε成立。

赋范线性空间的任一收敛的序列都是Cauchy列，反之不成立。

定义2.1.12 U X称为是完备的，如果U中任一Cauchy列都收敛于U中的一个元素。完备的赋范线性空间称为Banach空间。

定义2.1.13 U X称为是紧的（compact），如果U的任一开覆盖存在有限的子覆盖。即如果开集的集合Vj

{}

j∈J

满足U

∪Vj，则一定可以选取有限个开集{Vj(k)}

j∈J

nk=1

满足

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