偏微分方程反问题的数值解法教案(11)

偏微分方程反问题的数值解法教案

n 1

11tiht

()((0)(1)exsds≈hx+ex+ex(ih)) ∑∫0

22i=11ts

来近似，得到线性代数方程组：

n 1

211jh

h(x0+exn+∑eijhx(ih))=y(jh),22i=1

j=0,1, ,n

来求解x(ih)的近似值xi。下表表示数值解和真解在点t=ih的误差x(ih) xi

n=32 -38.21 50.91 -116.45 1.3.45 -126.87

随着左端积分项计算精度的不断提高，解的误差反而增加。本质原因：第一类Fredholm积分方程是一个不适定问题，同样，Volterra积分方程也是不适定问题。

例1.11 有限维代数方程组的求解

A∈Rn×n，u,z∈Rn，考虑线性代数方程组

Az=u

的解z。

10 当A≠0时， u∈Rn，该方程组存在唯一的解z=A 1u，且解连续依赖于右端项。 20 当A=0时，该方程不是对任意的右端项都有解，且当对某个u0有解的时候，解一定不

唯一。此时问题就是不适定的。

注：该例子表明了不适定性的三个原因在某些条件下的联系。对于本例，只要有了解唯一，就有了解得存在和连续依赖性。该结果在无限维空间的对应表示就是Fredholm选择定理的一个推论。

第二章 预备理论

本章主要介绍有关函数空间、紧线性算子、积分算子、函数逼近等基本概念和性质，这些

内容将是反问题解法的基础。

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