偏微分方程反问题的数值解法教案(19)

偏微分方程反问题的数值解法教案

,β1 1+β2 2=β1, 1+φ2, 2, 1, 2∈Y, φ∈X,α1,α2∈C

成立，映射 , :X×Y→C称为是双线性的。 如果对任意的非零φ∈X, ∈Y，使得

φ, ≠0；对任意的非零 ∈Y, φ∈X，使得

, ≠0就称双线性映射是非退化的(nondegenerate)。

定义2.3.10 赋范空间X,Y装备了非退化的双线性形式后，称为一个对偶系统，记为X,Y。 定义2.3.11 设X1,Y1，X2,Y2为是伴随的，如果

是两个对偶系统，两个算子A:X1→X2，B:Y1→Y2称

2

Aφ,

2

=,B

1

φ∈X1, ∈X2

注意：在上述定义下，只有线性算子才能引进伴随算子的概念

定理2.3.12 设X1,Y11，X2,Y2

2

是两个对偶系统，如果算子A:X1→X2，有一个伴随算

子B:Y1→Y2，则B是唯一的，并且A和B都是线性的。

定理2.3.13(Reisz) 设X是一个Hilbert空间，对每一个有界线性泛函F:X→C，存在唯一的f∈X，使得

F(φ)=,f, φ∈X

定理2.3.14 设X,Y是Hilbert空间，A:X→Y是有界线性算子，则存在唯一的有界线性算子A:Y→X满足：

*

Aφ,

*

Y

=,A*

X

, φ∈X, ∈Y

其上的双线性形式由X和Y上的内积即A和A是关于对偶系统X,X和Y,Y的伴随算子，定义，A是有界的且满足A=A。

定理2.3.15 设X,Y是Hilbert空间，A:X→Y是紧线性算子，则其伴随算子A也是紧的。 定理2.3.16(First Fredholm Theorem) 设X,Y是对偶系统，A:X→X，B:Y→Y是紧的伴随算子，则I-A和I-B的零空间具有相同的维数。

定理2.3.17(Second Fredholm Theorem) 非齐次方程φ Aφ=f可解的充要条件是

*

*

*

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