第四章 地基变形计算 - 图文(7)

k(1?e1)?2u?u?

a?w?z2?t?u （4-46） 2?t?zk(1?e1)式中， Cv? （4-47）

a?w或 Cv?2u?Cv称为土的固结系数（m2/年或cm2/年）。 式中，e1——渗流固结前土的孔隙比；

a——土的压缩系数； k——土的渗透系数。

式（4-46）反映的是土中超静孔隙水压力u随时间与深度z的关系，在一定的初始条件和边界条件下，该方程有解析解，可求得任意时刻、任意深度的孔隙水压力值。

（四）固结微分方程的解析解

式（4-46）一般称为一维渗流固结微分方程，为一抛物线型微分方程，可以根据不同的起始条件和边界条件求得它的特解。对于图4-22所示的情况，

当t=0和0≤z≤H u=u0=p 0

?u?0 ?zt=∞和0≤z≤H u=0

应用傅立叶级数，可求得满足上述边界条件的解答如下： 0≤t≤∞和z=H uz,t4pm??1m?z?m2(?sine?m?1m2H??24)Tv （4-48）

式中，m——奇数正整数（1，3，5，?）；

e——自然对数底数；

H——排水最长距离（cm），当土层为单面排水时，H等于土层厚度；当土层上下双

面排水时，H采用一半土层厚度； Tv——时间因数（无量纲）按下式计算：

C Tv?v2t （4-49）

H式中，Cv为土层的固结系数（cm2/年），t为固结历时（年）。

按式（4-48），可以绘制不同t值时土层中的超静孔隙水压力分布曲线（u-z曲线），如图4-23所示，图a为单面排水情况，图b为双面排水情况。从u-z曲线随t（或Tv）的变化可看出渗流固结过程的进展情况。u-z曲线上某点的切线斜率反映该点处的水力梯度和水流方向。

图4-23 土层在固结过程中超静孔隙水压力分布

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（五）固结度

图4-22a表示在附加应力p的作用下，历时t，土层中的有效应力?t?和超静孔隙水压力ut的分布。对某一深度z处，有效应力??zt与总应力p的比值，也即超静孔隙水压力的消散部分u0—uzt与起始孔隙水压力的比值，称为该点土的固结度，表示为：

??u?uzt Uzt?zt?0 （4-50）

pu0对工程而言，更有意义的是土层的平均固结度。土层的平均固结度等于时间t时，土层

骨架已经承担起来的有效压应力对全部附加压应力的比值。表示为：

面积abec Ut?

面积abdc亦即 Ut??H0u0dz-uztdz0?H?udz00Hudz? （4-51） ?1??udz0H0zt0H将上面求得的式（4-48）代入上式，积分化简后便得：

Ut?1?8m??m?1?2?m4)TV12e?m2(?24)TV （4-52）

或 Ut?1?8?2(e?(?21?9(?e9?24)TV ??) （4-53）

由于括号内是快收敛级数，从实用目的考虑，通常采用第一项已经足够，因此，式（4-53）

亦可近似写成：

Ut?1?8e?(?24)TV?2 （4-54）

式（4-53）给出的Ut和Tv之间的关系可用图4-24中的曲线①表示。为计算简便，曲线①

图4-24 Ut—Tv关系曲线

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或式（4-53）亦可用下列近似公式表达：

4 Tv=-0.933lg(1-Ut)-0.085 (Ut>0.60) (4-54b) Tv≈3Ut (Ut=1.0) (4-54c) 对于起始超静水压力u0沿土层深度为线性变化的情况（图4-25中的情况2和3），可根据此时的边界条件，解微分方程（4-46），并对式（4-51）进行积分，分别得：

情况2： Ut2?2??(?2)Tv??9()Tv1?44?1?1.03?e?e??? （4-55） ?27???? Tv??Ut2 （Ut<0.60） (4-54a)

情况3： Ut3?2??(?2)Tv??9()Tv?44?1?0.59?e?0.37e??? （4-56） ?????这种情况下的Ut—Tv关系曲线如图4-24中的曲线②和曲线③所示。可利用表4-12查相应于

不同固结度的Tv值。

实际工程中，作用于饱和土层中的起始超静水压力分布要比图4-25所示的三种情况复杂，但实用上可以足够准确地把实际上可能遇到的起始超静水压力分布近似地分为五种情况处理（图4-26）。

表4-12 Ut—Tv对照表

固结度 时间因数Tv Ut(%) Tv1[曲线①] Tv2[曲线②] Tv3[曲线③] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 0.002 0.008 0.016 0.031 0.048 0.071 0.096 0.126 0.156 0.197 0.236 0.287 0.336 0.403 0.472 0.567 0.676 0.848 1.120 ∞ 0 0.024 0.047 0.072 0.100 0.124 0.158 0.188 0.221 0.252 0.294 0.336 0.383 0.440 0.500 0.568 0.665 0.772 0.940 1.268 ∞ 0 0.001 0.003 0.005 0.009 0.016 0.024 0.036 0.048 0.072 0.092 0.128 0.160 0.216 0.271 0.352 0.440 0.544 0.720 1.016 ∞

图4-25 一维渗流固结的三种基本情况

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图4-26 固结土层中的起始压应力分布

（a）实际分布图；（b）简化分布图。（箭头表示水流方向）

情况1：基础底面很大而压缩土层较薄的情况。

情况2：相当于无限宽广的水力冲填土层，由于自重压力而产生固结的情况。 情况3：相当于基础底面积较小，在压缩土层底面的附加应力已接近零的情况。 情况4：相当于地基在自重作用下尚未固结就在上面修建建筑物基础的情况。

情况5：与情况3相似，但相当于在压缩土层底面的附加应力还不接近于零的情况。 情况4和情况5的固结度Ut4、Ut5可以根据土层平均固结度的物理概念，利用情况1，2，3的Ut—Tv关系式推算。按式（4-51）的意义，土层在某时刻t的固结度等于该时刻土层中有

效应力分布图的面积与总应力分布图面积之比。用虚线将图4-27a情况4的总应力分布图（亦即起始孔隙水压力分布图），分成两部分，第一部分即为情况1，第二部分类情况2。经t时刻，第一部分的固结度Ut1可用式（4-54）计算，该时刻土层中的有效应力分布面积为

A1?Ut1paH （a） 同一时刻第二部分，即情况2的固结度Ut2可用式（4-55）求得，该时刻土层中的有效应力面积应为

1H(pb?pa) （b） 2因而t时刻土层中有效应力面积之和为A1+A2。按上述固结度定义，这时情况4的固结度为

A?A2 Ut4?1 （c）

A0

A2?Ut2?

图4-27 固结度的合成计算方法

式中A0为土层中总应力分布图面积，即

HA0=(pa?pb)。将（a）、（b）、（c）代入式

2（4-51），得

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Ut41Ut1paH?Ut2(pb?pa)H2Ut1?Ut2(??1)2= （4-57） ?11??H(pa?pb)2式中：??pb/pa。

同样的方法可以推出情况5的固结度。

Ut5?或 Ut5?1 [2Ut1?(1??)Ut2] （4-58）

1??1 [2?Ut1?(1??)Ut3] （4-59）

1??应当注意，在式（4-57），（4-58）和（4-59）中，pa恒表示排水面的应力，pb恒表示不透水面的应力而不是应力分布图的上边和下边的应力。

如果压缩土层上下两层均为排水面，则无论压力分布为哪一种情况，均视为和情况1相同，只要在式（4-49）中以H/2代替H，就可按式（4-53）或（4-54），亦即情况1来计算固结度。

（六）沉降与时间关系的计算

以时间t为横坐标，沉降St为纵坐标，可以绘出沉降与时间关系曲线。比较建筑物不同点的沉降与时间关系曲线，就可以求出建筑物各点在任一时间的沉降差。

按土层平均固结度的定义

Ut??H0Ha??ztdH??ztdH0S1?e1??t

apHS?pH1?e1?故 St?UtS? （4-60） 土层平均固结度即可按有效应力对全部附加应力的比值表示，也可根据土层某时刻的沉降量St与最终沉降量S?之比来求得。

利用上面的固结理论可进行以下几方面的计算（Ut、St、t三者之间的求算关系） 1．已知固结度求相应的时间t和沉降量

H2Tv，St?S??Ut，其中最终沉降S?和固结系查Ut~Tv关系图表，确定Tv，则t?Cv数Cv可根据给定的参数（k、e、a、H等）求得。

2．已知某时刻的沉降量求相应的固结度和时间

S用Ut?t直接求得Ut，再用Ut~Tv关系图表求Tv，即可求得t。

S?3．已知某时间求相应的沉降量与固结度

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