结构动力学哈工大版课后习题解答(6)

结构动力学作业

第三章 多自由度系统

3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。

k5 k6

k1k3k2

m3 m1 m2

k1k2 2解：（1）系统自由度、广义坐标 图 3-10 图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； （2）系统运动微分方程

根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：

?1??K1x1?K2(x1?x2);m1?x?2??K2(x2?x1)?K3(x2?x3)?K5x2?K6x2; m2?x?3??K3(x3?x2)?K4x3;m3?x整理如下

?1?(K1?K2)x1?K2x2?0;m1?x?2?K2x1?(K2?K3?K5?K6)x2?K3x3?0; m2?x?3?K3x2?(K3?K4)x3?0;m3?xk4x3写成矩阵形式

?m1?0???00m20?1??(K1?K2)0???x?K20??x1??0???????x???0?;?2??0???x?K(K?K?K?K)?K223563???2???（1） ?x?????3?m3?0?K3(K3?K4)?????????x3??0?（3）系统特征方程

?t??),x2?A2sin(?t??),x3?A3sin(?t??) 设x1?A1sin(代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程

?(K1?K2?m1?2)??A1??0??K20???????K2(K2?K3?K5?K6?m2?2)?K3???A2???0?;（2）

?0??0?K3(K3?K4?m3?2)??A3??????? （4）系统频率方程

系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即

(K1?K2?m1?2)?K2 ?K2(K2?K3?K5?K6?m2?2)0?K30?K3(K3?K4?m3?2)?0;

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第三章 多自由度系统

展开得系统频率方程

((K1?K2)?m1?2)((K2?K3?K5?K6)?m2?2)((K3?K4)?m3?2)2?K2((K3?K4)?m3?22)?K3((K1?K2)?m1?)?0;2

进一步计算得

((K1?K2)?m1?2)((K2?K3?K5?K6)?m2?2)((K3?K4)?m3?2)22?K2((K3?K4)?m3?2)?K3((K1?K2)?m1?2)?((K1?K2)(K2?K3?K5?K6)?m1?2(K2?K3?K5?K6)?m2(K1?K2)?222?m1m2?4)((K3?K4)?m3?2)?K2((K3?K4)?m3?2)?K3((K1?K2)?m1?2)?(K1?K2)(K3?K4)(K2?K3?K5?K6)?(K1?K2)(K2?K3?K5?K6)m3?2?(K3?K4)(K2?K3?K5?K6)m1?2?(K2?K3?K5?K6)m1m3?4?m2(K1?K2)(K3?K4)?2?(K1?K2)m2m3?4?(K3?K4)m1m2?42222?m1m2m3?6?K2(K3?K4)?K2m3?2?K3(K1?K2)?K3m1m3?2 (3)

??m1m2m3?6?((K1?K2)m2m3?(K3?K4)m1m2?(K2?K3?K5?K6)m1m3)?4?22?(K2m3?K3m1m3?m2(K1?K2)(K3?K4)?(K1?K2)(K2?K3?K5?K6)m3)?2?22?(K1?K2)(K3?K4)(K2?K3?K5?K6)?K2(K3?K4)?K3(K1?K2)a6?6?a4?4?a2?2?a0?0;?0;其中

a6??m1m2m3; a4?(K1?K2)m2m3?(K3?K4)m1m2?(K2?K3?K5?K6)m1m3;

22a2?K2m3?K3m1m3?m2(K1?K2)(K3?K4)?(K1?K2)(K2?K3?K5?K6)m3;22a0?(K1?K2)(K3?K4)(K2?K3?K5?K6)?K2(K3?K4)?K3(K1?K2);

求解方程（3）得系统固有频率

?i?fi(m1,m2,m3,K1,K2,K3,K4,K5,K6),(i?1,2,3); （4） （5）系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型， 即各阶振型之比：

1(1)?2A1(1)1A1(1)?(1),(1)?(1),A2?3A3A1(2)1A1(2)?(2),(2)?(2); （5） A2?3A3A1(3)1A1(3)?(3),(3)?(3)A2?3A3

1(2)?21(3)?2（6）系统振动方程

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结构动力学作业

(1)(2)?(3)??A1?A1?x1??A1??(2)??(3)????(1)?x?Asin?(t??)?Asin?(t??)??(?2??2??2??A2?sin11223t??3)??x??A(1)??A(2)??A(3)??3??3?3???3? （6）

(1)?(2)?(3)??A1?A1?A1?(1)(1)??(2)(2)??(3)(3)????2A1?sin?(t??)??Asin?(t??)??(????2A1?sin11223t??3)21??(1)A(1)???(2)A(2)???(3)A(3)?3131?????31?在方程（6）中含有6个待定常数：A1(1)、A1(2)、A1(3)、?1、?2和?3。

?1(0)、x2(0)、x?2(0)、x3(0)和x?3(0)确定。 它们由初始条件x1(0)、x

3.2若３.１题中m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求该系统的固有频率和固有振型。

解：若m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K， 则 a6??m1m2m3??2m3;

a4?(K1?K2)m2m3?(K3?K4)m1m2?(K2?K3?K5?K6)m1m3?2m2(K?2K)?2m2(2K?K)?m2(2K?2K?3K?3K)?6m2K?6m2K?10m2K?22m2K;22a2?K2m3?K3m1m3?m2(K1?K2)(K3?K4)?(K1?K2)(K2?K3?K5?K6)m3

?4K2m?4K2m2?18K2m?30K2m?4K2m2?44mK2

22a0?(K1?K2)(K3?K4)(K2?K3?K5?K6)?K2(K3?K4)?K3(K1?K2)?(K?2K)(2K?K)(2K?2K?3K?3K)?4K2(2K?K)?4K2(K?2K)?90K3?12K3?12K3?66K3;系统频率方程（3）成为

?2m3?6?22m2K?4?(4K2m2?44K2m)?2?66K3?0;

化简

m3?6?11m2K?4?(2K2m2?22K2m)?2?33K3?0;

所以固有频率：

?1?1.328km

固有振型：

?2?1.732km?3?2.497km - 28 -

第三章 多自由度系统

?1??1??1?1?????2??0?????3???0.618?

0.618???????????????????1????1???1??

3.3求图3-11所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。

解：（1）系统自由度、广义坐标图3-11所示的三垂摆系统自由度N=3，广义坐标取 ?1、?2和?3；

（2）系统中A、B、C三质点的坐标 xA?Lsin?1;yA?Lcos?1;

xB?Lsin?1?Lsin?2;yB?Lcos?1?Lcos?2; xC?Lsin?1?Lsin?2?Lsin?3;yC?Lcos?1?Lcos?2?Lcos?3;

l （3）统中A、B、C三质点的速度 ? 1 ?cos?;y??A?L?x11?A??L?1sin?1;?cos????cos?); ?B?L(?x1122ml

ml ?sin????sin?); ??B??L(? 2 y1122?cos????cos????cos?); ?C?L(?x112233?sin????sin????sin?); ?C??L(?y112233?3 图3－11 （4）统中A、B、C三质点的动能

TA?TB?1122?2; ?A?Am(x?y)?mL2?1221122?cos????cos?)2?(??sin????sin?)2; ?B?Bm(x?y)?mL2(?1122112222??TC?1122?cos????cos????cos?)2?(??sin????sin????sin?)2; ?C?Cm(x?y)?mL2(?11223311223322sin?1??1,sin?2??2,sin?3??3,cos?1?1,cos?2?1,cos?3?1;

??因为对于微振动有

T?12?212??mL?1?mL?1??222??21????????mL2?1232??2；

（5）统中A、B、C三质点的势能

V??mgyA?mgyB?mgyC??mgL?3cos?1?2cos?2?cos?3?； ??(6)L=T-V;

根据拉格朗日定理：

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结构动力学作业

d??L??dt???i得：

??L?0 ?????i???321???1??300???1??0?????????????

L?221????g0202?????2???0??111??????001?????0?????3????3???（7）频率和固有振型：

?321??300???????2L?221??g?020??0；

?111??001?????解得固有频率：

?1?0.6448?2?1.5147?3?2.5080固有振型：

g LgLgL ??????1????????1????????1?1?????2??0.3529?????3???1.6450?；

1.2921???????????????????1.6308????2.3981???0.7669??3.4两端由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在B处用铰链连接，如图3-12所示，如选

取B点的竖直位移y和两杆绕B点的转角?1,?2为广义坐标，试从特征方程出发，求系统的固有频率和固有振型。

（1）AB杆的动能：

A ?1 B y ?2 C x

k x32k k 图3-12

1?l??112?2???T1?m?y?ml?1 ； 1??2?2?212AB杆的势能：

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