结构动力学哈工大版课后习题解答(4)

结构动力学作业

即

?K?m?2???2K???A1??0??K??????;

2K?m?2???A2??0?（3）系统频率方程

系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零

K?m?2?2K?K?0; 22K?m?即

m?4?3K?2?0;

解得

?1?0;?2?3K; m（4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得

系统的两阶固有振型

(1)A1(1)A2?1?(1)?1;(2)A1(2)A2?1?(2)??1; 2 +1 +1 +1

-1/2

2.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为m，长为L，悬线长为L/2，求该系统的固有频率和固有振型。 解：（1）求均质细杆质心的坐标和质心的速度 xc?L?sin?1?sin?2?,yc?L?cos?1?cos?2? ； 22L?L??cos?,y??c????1cos?1??221sin?1??2sin?2； 22l2?c?x?????1 （2）求系统的Lagrange函数 L?T?V?1122?2?1mgL?cos??cos?? ； ?C?Cmx?y?JC?212222??mL2?2?2mL2?21????1??2?2?1?2cos??1??2???2?mgL?cos?1?cos?2? ； 8242?? （3）求系统的运动微分方程

由Lagrange方程 可得

d???L?dt???j???l???0???j??2 ?j?1,2?

图2-15 - 16 -

第二章 两自由度系统

?mL2??mL2??L????mg?1?012??442 ?22?mL????mL????mgL??0122?32?4?mL2?即 ?42?mL??4mL2??mgL???????4?1?2?????mL2???2??0??3??0?????0?1???; ??mgL??2???0??2?（4）系统特征方程

?t??) 和?2?A2sin(?t??)，代入方程（1）设运动微分方程（1）的解为 ?1?A1sin(

?LmL22mL22(mg??)A1??A2?0??244 ?22??mL?2A?(mgL?mL?2)A?012?23?4??LmL22mL22(mg??)?????A1??0?244??????; 即 ?mL22LmL22??A2??0????(mg??)??423??（3）系统频率方程

系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零

LmL22mL22(mg??)??244?0; 22mL2LmL2??(mg??)423即 L2?4?14g?2?12g2?0; 解得系统的两个固有频率

?1?gL;?2?3.6g;； L（4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得 系统的两阶固有振型

(1)A1(1)A2?1?(1)?1;(2)A1(2)A2?1?(2)??13; 11

+1 +1 +1

-13/11 - 17 -

结构动力学作业

2.6两层楼用集中质量表示如图2-16所示的系统。其中m1?11m2；k1?k2；证明该系统22(1)(2)x1k12k1x1的固有频率和固有振型为：?1?;?2?;(1)?2;(2)??1 ； 2m1m1x2x2解：(1)系统振动微分方程

x1k1m1?1?k11x1?k12x2?0m1?x （1）

?2?k12x1?k22x2?0m2?x（2）系统特征方程

x2k2m2??x1?A1sin??t??? 设方程组的解为 ? x?Asin?t?????2?2代入方程组（1）式得，系统特征方程

??k11??2m1?A1?k12A2?0? （2） ?2??k21A1??k22??m2?A2?0（3）系统频率方程

因为考虑系统振动的情况，所以要求方程（2）有非零解，而方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零：

K11??2m1K12K12?0

K22??2m2图2-16 即

2（k22??m2）?k12k21?0 (3) k11??2m1）

（4）系统固有频率 根据已知条件 k11?k1，k21?k12??k1，

k22?k1?k2?3k1，m1?k22代入（3）式得

11m2，k1?k2; 2211?k1?k2?3k1，m1?m2，k1?k2;

225?k1?2?k1????4??????0 ， ????2?m1??m1?2?21?k12k2 ,?2?1 ； 2m1m1（5）系统固有振型：

将系统固有频率 代入系统特征方程（2）得系统固有振型

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第二章 两自由度系统

(1)A1(1)A2?k12?21m1?k11k12??k1k1?k12?2；

(2)A1(2)A2??22m1?k11??k1??1；

2k1?k1（6） 系统的主振动：

(1)x1(1)x2(2)x1(2)x2?(1)A1(1)A2?2

?(2)A1(2)A2??1；

证毕。

2．7 如图2-17所示的系统，设激振力为简谐形式，求系统的稳态响应。 x1

m1m2

k2k1 w e m 图2-17

解: (1)建立系统运动微分方程根据牛顿第二定律， 分别对m1和m2列出振动微分方程

x2?1?k1x1?k2(x1?x2)?f(t)m1?x?2?k2(x2?x1)?0m2?x即：

（1-1）

?1?(k1?k2)x1?k2x2?m?2esin?t)m1?x?2?k2x1?k2x2?0m2?x （1-2）

(2)求系统的稳态响应：设系统的稳态响应为 x?A1sin(?t??1) 1 （1-3）

x2?A2sin(?t?a2)即

x1?C1sin?t?C2cos?tx2?D1sin?t?D2cos?t （1-4）

- 19 -

结构动力学作业

将表达式（1-4）代入式（1-2），根据两个方程中包含sin?t的系数和为零及包含cos?t的系数和为零，可得如下方程组：

(?m1?2?k1?k2)C1?k2D1?m?2e;(?m1??k1?k2)C2?k2D2?0;2

即

?k2C1?(?m2?2?k2)D1?0;?k2C2?k2D2?0; （1-5）

求解方程组（1-5）得：C2?D2?0C1?D1?4

m?2e(k2??2m2)222m1m2??m1k2??m2k1??k1k2?m2k2?m?2ek2;; （1-6）

m1m2?4?m1k2?2?m2k1?2?k1k2?m2k2?2C2?D2?0;

?t??1),x2?A2sin(?t?a2)中有 所以在公式x1?A1sin(

m?2e(k2??2m2)A1?m1m2??m1k2??m2k1??k1k2?m2k2?m?2ek2m1m2?4?m1k2?2?m2k1?2?k1k2?m2k2?24222;; (1-7)

A2??1??2?0;

2.8在如图2-18所示的系统中，一水平力Fsin(ωt)作用于质量块M上，求使M不动的条件。 解：（1）系统有两个自由度，选广义坐标为x,φ （2）系统的动能

1?21?21?)2?12mlx?cos? ??T?MX?mX?m(l?2222（3）系统的势能 x k k 12 U?2kx?mgl(l?cos?)

2

（4）Lagrange函数

L?T?U

M ?l m 图2-18 L?11?2?mlx?cos??kx2?mgl?mglcos? ?2?ml2???(M?m)x22

（5）对Lagrange函数求导

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