结构动力学作业
T?TA?TB?11JA?A2?JB?B2 22 C 1?mArA2?1?mBrB2?2?????B2?1?mA?mB?rA2?A2； T??A???2?2?4?2??2?B 系统的势能为：
rA21111?2222?U?KA?A?KB?B?KA?A?KB?B?KA?KB22222?rB?A D???2??A; ??图1-36 系统的机械能为
2r11?22A?A??KA?KBT?U??mA?mB?rA?42?rB2??2??A?C； ??由
d?T?U??0 得系统运动微分方程 dt?rA212???A?KA?KB?mA?mB?rA??2rB2?????0； ?A?因此系统的固有频率为：
?rA2?2KA?KB2?rB??mA?mB?rA2?????rA2?2KA?KB2?rB??mA?mB??????n??1rA；
1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为l， 质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼??0时 系数为C，求当初始条件?0??0（１）f(t)?Fsin?t的稳态解； lc 2（２）f(t)??(t)t的解； 解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程
lf(t) 2????c?l????k?l???f(t)l?k?l?? ；J?k ??????2?2??2??2?222k mml2而 J??rdm??r ； dr?l12ll22?2?2l2l2得
???3cl2???6kl2??6lf(t)； ml2?化简得
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第一章 单自由度系统
??? ?3c?6k6????f(t) (1) mmml(1)求f(t)?Fsin?t的稳态解；
将f(t)?Fsin?t代入方程（1）得
??? ?令2n?3c?6k6????Fsin?t （2） mmml3c6k6F;?n2?;h?; 得 mmml???2n????2??hsin?t （3） ?n设方程（3）的稳态解为
?t??) （4） x?Asin(将（4）式代入方程（3）可以求得：
A?h??2n??22???4n2?2l6F?6k?m??22；
?9c2?2??arctg(2)求f(t)??(t)的解；
将f(t)??(t)代入方程（1）得
2n?3c? ； ?arctg222?n??6k?m???? ?令2n?3c?6k6?????(t) （5） mmml3c6k6;?n2?;h?; 得 mmml???2n????2??h?(t) （6） ?n方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励h?(t)的响应。由方程（6）可以得到初始加速度
???h?(t)； ?0然后积分求初始速度
0?0?0???dt???0??0?0?h?(t)dt?h??(t)dt?h ；
000?再积分求初位移
0???dt??h)dt?0； ?0??0?0?0??、??和?的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件?000x?Ae?ntsin??dt???；
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结构动力学作业
将其代入方程（6）可以求得：
A?hm?d;??0;
最后得
x?Ae?ntsin??dt????hm?de?ntsin??dt?
1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间， 由机械能守恒定理 mgH?1mV02的振子的初速度V0?2gH； 2底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度 V0?2gH的主动隔振
m 系统的运动微分方程为： k/2 ??Cx??Kx?0 ； m?x??或 ?xCK??x?0; xmmc k/2 H ??2nx???n2x?0; 或 ?x系统的运动方程是对于初始条件的响应：
x?Ae?ntsin??dt???；
2图1-38 A?x0?0???nx0?x????d??2gH?x??0? ； ???dd?2??arctg?dx0?0 ；
?0???nx0x2gHsin??dt?;
x??d1.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情
况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。
y 解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程： m ???k(y?y1)?c(y??y?1) m?y其中：y表示路面波动情况；y1表示汽车上下波动位移。 k/2 c k/2 将其整理为：
y(t) ??cy??ky?ky1?cy?1 (1) y m?将y?hsin(at)代入得
图1-39
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y 第一章 单自由度系统
??cy??ky?achcos(at)?khsin(at) m?y
(2)汽车振动的稳态解:
?t?a) 设稳态响应为： y?Asin(
代入系统运动微分方程（1）可解得：
2A?k?c2?2(k?m?2)2?c2?2h； ?acrtan(mc?3ak(k?m?2)?c2?2)；
1.11.若电磁激振力可写为F(t)?Hsin2?0t，求将其作用在参数为m、 k、的稳态响应。
解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
(t)?a02??F?(aicos(i?t)?bisin(i?t))
i?1其中：ai?2TT?0F(t)cos(i?t)dt； bi?2TT?0F(t)sin(i?t)dt 因为F(t)?Hsin2(?0t)是偶函数，所以bi?0。 于是
F(t)?H2?H2cos(2?0t) 而
x(t)?H2k?Asin(2?0t?a??/2)； 式中
HA?2m(?2222；
n?4?0)?16n?0a?arctan2n??22；
n?4?0n?c2m,?2kn?m
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的弹簧振子上 c结构动力学作业
?3,求其等效粘性阻尼。 1.12.若流体的阻尼力可写为Fd??bx解：（1）流体的阻尼力为
?3 ； Fd??bx（2）设位移为
x?Acos(?t??)，
?dt； 而 dx?x（3）流体的阻尼力的元功为
?3x?dt)； dWd?Fddx??(?bx（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
3?W??Fdx??bxd???dx4????bx?dt????b[?Acos(?t?a)]dt
43??b?3A4?4 （5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：???cA （6）等效粘性阻尼：
取???n， 令? 可得：
233b?nA4?????nceqA2 4ceq?32b?nA2 4
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