结构动力学哈工大版课后习题解答(5)

第二章 两自由度系统

?L?cos?;d(?L)?(M?m)???cos?;?L??2kx;??ml???ml??(M?m)xx???xdt?x?x?Ld?L?L??mlx???ml??sin??mglsin??cos?;()?ml2??cos?;?? ?ml2?x?mlx??dt??????;

（6）Lagrange方程

d?L?L()??Fsin?t?dt?x?x

d?L?L()??0?dt????得

??cos??2kx?Fsin?t??ml?(M?m)?x

2????cos??mlx??sin??mglsin??0ml??ml?x因为振动为微幅振动，所以

cos??1??2,sin???

（7） 解方程：

设x?Asin?t，??Bsin?t代入方程并整理得：

?A?2(M?m)?B?2ml(1??2)?2Ak?F??Bml?Aml??mlAB??Bmgl?0 因为M不动，所以A=0。而B不能等于零，故，

22222

mgl??2ml2?0，

解得

??g； l

2.9在图2-19所示的系统中，轴的弯曲刚度为EJ，圆盘质量为m，它对其一条直径的转动惯量为I=mR2/4，其中R=L/4。设轴在它的静平衡位置时是水平的，且忽略轴的质量。求系统的运动微分方程和固有频率。 解：（1）系统自由度、广义坐标：

图2-19所示的系统自由度N=2，选Y、?为 广义坐标。 （2）系统运动微分方程

??;???12I?y???11m?y （1）

????????my??I?;1222 - 21 -

结构动力学作业

其中系数： ?11L3L2L?,?12?,?22?; 3EJ2EJEJlR 图2-19 （3）系统特征方程

设 y?A1sin??t???,??A2sin??t??? 代入方程（1）得

A1sin(?t??)??11m?2A1sin(?t??)??12I?2A2sin(?t??)?0;A2sin(?t??)??12m?A1sin(?t??)??22I?A2sin(?t??)?0;22?O y 整理得

?1??11m?2?2????12m??mL32??12I?2??1?3EJ????21??22I?2????L?2??2EJL2I2?????0?2EJ????; （2）

0L2?1?????EJ?（4）系统固有频率

特征方程（2）由非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零：

mL321??3EJL2??22EJ即

L2I??22EJ?0; L1??2EJ19L3m2????1?0; 248EJ192?EJ?4?L3m?2解得：

?1?1.62EJ8.6,?2?LmLLEJ; mL

C??0.0628,2.10图2-20所示的是两自由度系统。其中P1?Pcos(?t)，k=987,m=1，C=0.6284，求系统的固有频率、振型和u1的稳态响应。

解：（1）系统自由度、广义坐标 u 1 '系统自由度N=2； c c 广义坐标选u1和u2 m （2）系统运动微分方程 kk' 根据牛顿第二定律，写出

??1??Ku1?K?(u2?u1)?C?(u?2?u?1)?Cu?1?P1mu??2??Ku2?Cu?2?C?(u?1?u?2)?K?(u2?u1);mu;u2ck p1图2-20 写成矩阵形式：

??1??C??C?C???u?1??K?K??K???u1??Pcos??t???m0??u???????; ?0m??u??u??u???????????CC?C?KK?K0???2????2????2??? （2）系统的固有频率和振型

对于系统运动微分方程两边作拉氏变换得

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第二章 两自由度系统

?ms?ms解得

2s2??2?(C?s?K?)U1(s)?ms2??C?C??s??K?K??U2(s)?0;??C?C??s??K?K??U1(s)?(C?s?K?)U2(s)??Ps;??

有

2??C?C??s??K?K???(C?s?K?)???(C?s?K?)?0;

ms2??C?C??s??K?K???s1,2??0.31?j31.4,s3,4??0.346?j37.37;

因此

?1?31.4,?2?37.37;

系统的固有振型，即各阶振幅比为：

1?(1)A1(1)A2?系统的 第一主振动为

(1)?1;

1?(2)?(2)A1(2)A2??1;

(1)(1)(1)x1?A1sin(?1t??1)?A1sin(?1t??1);(1)x2?(1)A2sin(?1t??1)??(1)(1)A1sin(?1t??1)

系统的第一主振动为

(2)(2)x1?A1sin(?2t??1)?A1(2)sin(?2t??2);(2)x2?(2)A2sin(?2t??1)??(2)(2)A1sin(?2t??2)

（3）u1的稳态响应

由拉氏方程组解得

U1(s)??ms?Psms2??C?C??s??K?K??2??C?C??s??K?K??ms?Cs?Ks??22??????2?;

于是

A1Psms2??C?C??s??K?K???; 2ms2??C?C??s??K?K??ms2?Cs?K?s?j???????以s?j?代入得

A1Pj??e22?1421??2????1204?????0.69??;

??????0.75????987?????0.0.63???????222222??arctanu1的稳态解为

0.69?1204??2?arctan0.75?1421??2?arctan0.63?987??2;

u1?A1cos(?t??);

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结构动力学作业

2.11 减小受简谐激振励单自由度系统的振幅的方法之一，是在该系统上附加一个“可调吸振器”，吸振器由弹簧-质量组成。这样原系统和吸振器就构成了一个两自由度系统，见图2-21. （1）建立系统的运动方程；

u1（2）设系统的稳定响应为 m2 u1(t)?U1cos(?t),u2(t)?U2cos(?t)， 试证明

(k2??2m2)p1 kpU1(?)?,U2(?)?21

D(?)D(?)P1cos?t k12m1 k122其中D(?)?(k1?k2??2m1)(k2??2m2)?k2

图2-21

（3）将吸振器调到k2m2?k1m1，证明当?2?k1m1时，即原系统处于共振状态，U1的响应振幅为零；

（4）若吸振器调到m2m1?0.25时，画出k1U1p1和k1U2p1对频率比r??的频幅图。

解：（1）对每个质量进行受力分析，由牛顿第二定律得系统的运动微分方程

u2k1m1????m1u1?P1cos??t??k1u1?k2(u2?u1)； ????m2u2?k2(u1?u2)?????mu?(k1?k2)u1?k2u2?p1cos(?t)即 ?11； ???m2u2?k2u1?k2u2?0?（2）将系统的稳定响应代入运动微分方程组得

?(k1?k2?m1?2)U1?k2U2?p1； ?2??k2U1?(k2?m2?)U2?0由Cramer法则，

(k2??2m2)p1U1(?)?D(?)2,U2(?)?2k2p1 D(?)2其中 D(?)?(k1?k2??m1)(k2??m2)?k2 （3）当k2m2?k1m1时，系统的频率方程为

k1?k2?m1?2D(?)??k2?k2?0； 2k2?m2?将?2?k1m1代入上式，显然满足方程，故此时系统处于共振状态。 并且有

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第二章 两自由度系统

U1(?)?(k2??2m2)p1?0

D(?)设k2m2?k1m1，且??m2m1?0.25时，可得

k1U1k1U2p1?1?r2p1?(1???r2)(1?r2)??1(1???r2)(1?r2)??

所以频幅图为

150100500-50-1000

k1U2/p1k1U1/p10.51r1.522.5

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