结构动力学哈工大版课后习题解答

第一章 单自由度系统

第一章 单自由度系统

1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法

适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； ?? （2） 利用牛顿第二定律m?x?F,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法

适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；

???（2） 利用动量距定理J??M,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法：

适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为?，写出系统对于坐标?的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程

??L?L()?=0，得到系统的运动微分方程； dt????? （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法

适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即

d(T?U)?0，进一步得到系dt统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值Ai、Ai?1。

（2）由对数衰减率定义 ??ln(Ai)， 进一步推导有 Ai?1??

2??1??- 1 -

2，

结构动力学作业

因为?较小， 所以有

???。 2?方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：

单自由度系统的幅频曲线

（2）分析以上幅频曲线图，得到：

?1,2??max/2?2?/4；

于是

?22?)?21?(1?n； 进一步

?222?(1?2?)?n； 最后

????2??1?/2?n???/2?n；

1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法 当单自由度系统在正弦激励F0sin?t作用下其稳态响应为：

x?Asin(?t??),

其中： A?F0xm??n2??02?st?4n2?2??1??2??4?2?2 ； (1)

??arctan?2??/?1??2?? (2)

- 2 -

第一章 单自由度系统

从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比?。 方法二：功率法：

（1） 单自由度系统在F0sin?t作用下的振动过程中，在一个周期内， 弹性力作功为 Wc?0、 阻尼力做功为 Wd????cA2、 激振力做作功为 Wf???F0sin?；

（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： Wc+Wd+Wf?0；

于是 ?F0sin?-??cA2?0 进一步得： A?F0sin?c?； （3） 当?n??时，sin??1， 则 Amax?xst2?， 得 ?max?12?, ??2?max。

1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 （a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、 简支梁刚度为 k2?m 48EI； 等效刚度为k; l3111则有 ??；

kk1k2l 2k1l2则固有频率为：??k?m?48EIl3图1-33（a） ； 48EI?k1l3m?（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:

l 48EI k?k1?3; 2lm k1则固有频率为:

l2 ?? 图1-33（b）

k?mk1l3?48EI

ml3k1 - 3 -

结构动力学作业

(c)系统的等效刚度

k?k1?3EI3EI ?k?133llm 则系统的固有频率为

k1k1 图1-33（c） k1l3?3EIk???mml3

（d）由动量距定理

0m ??得： ?m?F??I?0k1111112??（l??k1?l?l??k1?l）=ml? 22222 ???k1??0 ， 得： ?2ml2 k1 则 ??k1 。 2ml2

图

1-33

1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.

解：以? 为广义坐标，则 ? 系统的动能为

?11?2??2?I0? ?xT?T重物?T轮子?（m）22??1P11P2?xP2P2??2?(??? ?x?（）R)???xx22g22gR4g4g??2 A 图1-34 ?P2? x2gB 0 系统的势能为：

1U?U重物?U弹簧?－Px?kx2 ；

2拉格朗日函数为

x L=T-U ;

由拉格朗日方程

??L?L()??0 得 ?dt?x?xP??x?kx?P g - 4 -

第一章 单自由度系统

则，

?0=

kg Pkg P所以：系统的固有频率为

1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度

为K 。

解：磙子作平面运动， k其动能T=T平动 +T转动 。 R x M

T平动?T转动1?2; Mx2 222??1?MR??x??1?x?I???????;2?R?2?2??R?113?2?Mx?2?Mx?2； Mx24412Kx； 2图1-35 T?而势能

U?系统机械能

T?U?31?2?Kx2?C; Mx42由

d?T?U??0得系统运动微分方程 dt3??Kx?0； M?x2得系统的固有频率

?n?2K ； 3M 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA, ,杆BD的扭转刚度为KB, 解：由齿轮转速之间的关系?ArA??BrB 得 角速度 ?B?rA?A； rBrA?A； rB转角 ?B?系统的动能为：

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