结构动力学哈工大版课后习题解答(3)

第二章 两自由度系统

第二章 两自由度系统

2.1 求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。 解：（1）系统的振动微分方程

?1??kx1?k(x1?x2); m?x?2??k(x2?x1)?kx2; k m?x?1?2kx1?kx2?0； 即 m?x?2?kx1?2kx2?0； （1） m?xm u1 km u2k图2-11 （2）系统的特征方程 根据微分方程理论，设方程组（1）的解为：

x1?A1sin(?t??)；x2?A2sin(?t??) （2）

将表达式（2）代入方程组（1）得： (?m?2A1?2kA1?kA2)sin(?t??)?0

(?m?2A2?kA1?2kA2)sin(?t??)?0 （3）

?t??)不可能总为零，所以只有前面的系数为零： 因为sin((2k?m?2)A1?kA2?0;?kA1?(2k?m?)A2?0;2；

即

?2k?m?2 ????k?k??A1??0???????； （4）

2k?m?2???A2??0?(3)系统的频率方程

若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：

2k?m?2?k展开得

?k?0 ； 22k?m? m??4mk??3k?0 ； （5） 系统的固有频率为：

?1?K/m ； ?2?3K/m(4)系统的固有振型

将?1，?2代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为：

1?(1)A1(1)A22422; （6）

?(1)?1;

1?(2)?(2)A1(2)A2??1; （7）

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结构动力学作业

系统各阶振型如图所示：其中（a）是一阶振型，（b）是二阶振型。

+1 +1 +1

（a） (5)系统的主振动

系统的 第一主振动为

(1)(1)x1?A1sin(?1t??1)?A1(1)sin(（b） -1 kt??1);mkt??1)m

(1)(1)x2?A2sin(?1t??1)??(1)A1(1)sin(系统的第一主振动为

(2)(2)x1?A1sin(?2t??1)?A1(2)sin(3kt??1);m3kt??1)m

(2)(2)x2?A2sin(?2t??1)??(2)A1(2)sin(2.2确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。 解：（1）系统的动能 uu121212212?1?2?1?2T?(2m)u?(m)u?mu?mu 222 （2）系统的势能 因为弹簧上端A、B两点的位移

uA?2u1?2m m k k u1?u2u?u2;uB?1; 22L L L 所以系统的势能为 V??u?u22Ku1?u22K(2u1?1)?()2222 图2-12 K22(5u1?2u1u2?u2) ; 41K222?2mu?(5u1?2u1u2?u2) 24(3)系统的Lagrange函数

2?1L?T?V?mu?（4）系统的运动微分方程 d???L 由Lagrange方程

?jdt???u??l???0??uj??j?1,2? 可得

5KKu1?u2?0;22 KK??2?Ku1?u2?0;mu22??1?2mu - 12 -

第二章 两自由度系统

即

?5K??1??2?2m??u???K???u??m???2????2?K?u1??0?2??????; K??u??2??0?2?(5)系统的特征方程

设系统的运动微分方程的解为

u1?A1sin(?t??),u2?A2sin(?t??)

代入系统的运动微分方程得系统的特征方程

5?K?2??2m??K?A1?A2?0;2?2?

KK???KA1???m?2??A2?0;22??即

???5?K2?2m??K??????A??0?2?2????1????; KK???A2??0???2??m??????22???? （6）系统的频率方程

系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零

5?K?2???2m??K?2?2??0; KK??2???m???22??即

4m2?4?7Km?2?2K2?0;

解得,系统的固有频率

?1?0.6Km;?2?1.18K ； m(7)系统的固有振型

将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的固有振型

(1)A1(1)A2?1?(1)?0.28;(2)A1(2)A2?1?(2)??1.67;

（8）系统的主振动

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结构动力学作业

u1(1)?A1(1)sin(?1t??1)?A1(1)sin(0.6kt??1);mkt??1)m

(1)(1)u2?A2sin(?1t??1)?0.28A1(1)sin(0.6(2)(2)u1?A1sin(?1t??1)?A1(2)sin(1.18kt??1);mkt??1)m(2)(2)u2?A2sin(?1t??1)??1.67A1(2)sin(1.182.3一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图2-13），杆的质量为m，两弹簧的刚度分

别为2K和K。 m u（1）写出用杆端铅直位移u1和u2表示的运动方程； 1（2）写出它的两个固有频率； （3）画出它的两个固有振型；

解：(1) 均质杆的运动微分方程 2k 以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心 C的位移为 uC?1?u1?u2?; 2u2?uu2?u1?; LLu2k L 图2-13 均质杆绕质心C的转角为 ??sin?1 均质杆的运动微分方程

??c??K(2u1?u2)?mu????KL JC??Ku1L?u2??2??1?u??2)?m(u??K(2u1?u2) ? ?2?2??1?u??2KL?mLu?Ku1L?u2??12L2

??1?mu??2?4Ku1?2Ku2?0?mu即 ? （1）

????mu?mu?12Ku?6Ku?0?1212（2）系统的特征方程

?t??) 、u2?A2sin(?t??)，代入方程（1）设运动微分方程（1）的解为 u1?A1sin(

??m?2A1?m?2A2?4KA1?2KA2?0?22?m?A1?m?A2?12KA1?6KA2?0

即

?4K?m?2?2??m??12K2K?m?2??A1??0??; 2??A??0?6K?m????2???（4） 系统的频率方程

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第二章 两自由度系统

系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零

4K?m?2m?2?12K2K?m?2?0;

6K?m?2即

m2?4?12Km?2?24K2?0;

解得

系统的两个固有频率

?1?1.612;?2?3.066；

（5） 系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得

系统的两阶固有振型

(1)A1(1)A2?1?(1)(2)3A1137?;(2)?(2)??; 7A267?（6）系统的两阶主振动

?u1(1)?A1(1)sin(?1t??1)?A1(1)sin(1.612t??1) ?(1)(1)(1)?u2?A2sin(?1t??1)?2.33A1sin(1.612t??1)

?sin(?1t??1)?A1(2)sin(3.066t??1) ?(2)(2)(2)?u2?A2sin(?1t??1)??1.81A1sin(3.066t??1)

2.4确定图2-14所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。 解：（1）系统运动微分方程 ??1?2K(u2?u1);2mu??2??2K(u2?u1);mu即 2k m u1u2 2m ??1?2Ku1?2Ku2?0;2mu （1） ??2?2KKu1?2Ku2?0;mu

图2-14 （2）系统特征方程 设运动微分方程（1）的解为

u1?A1sin(?t??)

?t??)， 和 u2?A2sin(代入方程（1）

??K?m?2?A1?KA2?0? ?2???2KA1??2K?m??A2?0 - 15 -

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