非线性系统控制理论
?dh(x)???? ?? 应是非奇异阵。 ?n?1?dLh(x)?f?00n?10m(Span{dh(x),dLfh(x),?,dLfh(x)})?n。 这就证明了di推论：由于这个条件满足，所以可以使下列方程有唯一的解?(x)。
?dh(x)??0??????dLfh(x)???? ???(x)??? ( 9.7 )
????0??n?1???dLh(x)?1??f? 即有：
L?h(x)?L?Lfh(x)???L?Lfh(x)?0L?Lfh(x)?100n?2n?1
3.定理9.2( 充分必要条件 )
观测器线性化问题能解的充分必要条件是：
m(Span{dh(x),dLfh(x),?,dLf ( i ) di ( 即定理9.1的条件 )
nn?1h(x)})?n。
000 ( ii )在R的某个开集V上存在一个映射F，它映射到x的邻域U上，对
所有z?V，满足
?F?z?[?(x),?adf?(x),?,(?1)adf?(x)]x?F(z) ( 9.8 )
n?1n?1 其中向量场?(x)是方程( 9.7 )的唯一解。 证明：略。
4.观测器线性化问题的求解过程：
( 1 )首先检查条件( i )，若条件满足，则进行下面步骤。 ( 2 )解方程( 9.7 )得到向量场?(x)。
( 3 )再检查条件( ii )，实际上要解偏微分方程( 9.8 )，找到函数F(?)，它定义在z的邻域V上，并使F(z)?x。 ( 4 )然后得到??F。
( 5 )显然可计算出映射k(?)。
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?10000非线性系统控制理论
?k1(zn)????k2(zn)????? k(zn)????f(x)?????x??x??????k(z)?nn?( 6 )最后可以得到满足要求的观测器方程： 其中
?1?0????z1???? (z)?????z?n?1???(A?GC)??Gy?k(y)
.?00???0??10???0??? A??01???0?C?[0,?,1]
??????????0???10?? G是根据所要求的观测器动态来设计。
4.8 举例
考虑一个简单的单连杆机械手
在实践中，机械的运动往往用一个长轴或传送带来传动，或者用电机的电枢来驱动，这时显示的谐振频率常常与控制讯号的频率在同一个范围之内。
作动器与连杆之间的弹性耦合影响，其数学模型常常可以用一个线性的扭簧来表示。本例中的数学模型可以用两个二阶方程来描写。一
q2表示驱动轴个是驱动轴的力学方程，另一个是连杆的力学方程。q1,与连杆的角位移( 相对于固定参考系)。
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非线性系统控制理论
...J1q1?F1q1?(q2?)?TNN
...q1J2q2?F2q2?K(q2?)?mgdCo2sq?0N 其中 N— 传动比 m— 杆的质量
d— 杆的重心至转轴中心的距离
取状态变量x?Col(q1,q2,q1,q2)，控制u = T。则将上述方程化成状态方程：
..Kq1
x3????x4????F1?KKx1?x2?x3f(x)???2J1NJ1NJ1???KF2?Kmgdx1?x2?Cosx?x4??2J2J2J2???J2N??0????0? g(x)??1?
???J1???0??
y?h(x)?x2 ( 观测q2 )
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非线性系统控制理论
?????x??h(x)Lfh(x)??f(x)??0100??4??x4????x????????????Lh(x)f??f(x)L2fh(x)??f(x)??0001??4????x??f(x)?4?
?L2fh(x)Lh(x)??f(x)?x3f
?KF?Kmgd??,??Sin2x,0,2??fJ2J2??J2NJ2?FKKmgdx3?(??Sin2x)x4?2f4(x)J2NJ2J2J2
?0??0?Lgh(x)??0100????0??????0?
?0??0?LgLfh(x)??0001????0?*????0?
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非线性系统控制理论
?0??0?2LgLfh(x)????0?????0??????0??0??0???KKLgL3fh(x)??0????1???0??JJNJN?2??J?121? ?0?? ? 相对阶r = 4 = n在状态空间中每一点处均成立。 故系统能精确线性化。 取
?L4fh(x)?v U?T?
LgL3fh(x) 新坐标
?h(x)??y????.???Lfh(x)??y? z??2???..??
?Lfh(x)??y?.?3??..??Lh(x)y???f??q1????q2? 原坐标： ?.?
?q1??.??q2? 我们来考虑一个有趣的事情：看看系统能否在某个x处线性化。若
0x2?0，即q2?0,我们立即可以看出，这时的系统不是一个平衡状态。
因为有Cos0?1，所以f(x)?0与x2?0是不协调的。也就是说不加控制时，要达到平衡状态时x2?0。换句话说，要用控制来使其平衡。
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0000非线性系统控制理论
C?0。 即f(x)?g(x) 则在x2?0下，
000x3?0x4?0
K0?x1?C?0NK0x1?mgd?0N0 此式可以唯一的解得x1和C。
则： u?00?Lfh(x)?v4LfLfh(x)03?C
因y?x2，故此控制可使y及其各阶导数为0，及可使z = 0。除控制不为零外。x1亦不为零，说明轴要扭一个角度。
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