反馈线性化原理的应用(7)

非线性系统控制理论

x?f(x)?g(x)u y??(x)0 在x处的相对阶为?。而对于任何其他的输出映射y????(x)，系统的相对阶低于或等于?。

证明：

.nv(Span{g,?,adf( 1 )因为ig}是k维( k < n )的，且是对合的，

,?,?n?k(x)，它由Frobenius定理，就一定存在n - k个函数?1(x)们的微分张成上述分布的零化子( 局部地 )。

如果我们令 ?(x)??1(x)，则对所有x附近的x有

0??2Lg?(x)?Ladg?(x)???Ladf??2fg?(x)?0

0 而且可以证明

Lad??1f?(x)?0。 g??20 这可以用反证法，因为假若上述结论是错的，那么非零向量d?(x)adf将属于分布Span{g,?, 即

00g,adfg}的零化子。

??2??1???1d?(x)?(Span{g,?,adfg,adfg})，则由定理8.1 d?(x)?(inv(Span{g,?,adfg,adfg})),但这是矛

??2??1??2??1?盾的，不可能的。因为已由假设条件

inv(Span{g,?,adfg,adfg})是n维的，所以它的零化子是0

维的。所以一维非零的d?(x)不可能属于它的零化子。因而由相对阶的定义可知系统的相对阶为?。

( 2 )再来考虑任何其他的??(x)为其输出函数，并假设此时对应的相对

?2?阶为r。所以：d???(Span{g,?,adrfg})。

?2? 由定理8.1 d???(inv(Span{g,?,adrfg}))。 ?2 因为d???0，故 dim(inv(Span{g,?,adrfg}))?n。

0对于假设( 1 )及( 2 )，便可推知

r??。

( ?r?2???2,?r?? )

4.7 具有线性误差动态的观测器 1.问题的提出：

在线性系统理论中，用状态反馈进行系统极点配臵与观测器用前向

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非线性系统控制理论

增益阵使其具有给定的特征值的观测器设计是一个对偶问题。那么在非线性系统中从某种意义上讲，本节所要讨论的问题也就是第2节中状态空间精确线性化问题的对偶问题。

众所周知，观测器的动态与观测误差的动态是相同的。观测误差定义为未知的状态与估计状态之差。由此看来，如果我们希望将前面已经研究过的一定结果来作对偶处理，就引出误差动态的非线性观测器的综合问题，有可能在作了适当的坐标变换之后这个动态变成线性的且在频谱上（或其特征值）可以进行配臵的。

为简单起见，在考虑观测器综合时，先考虑无外加输入及标量输出的情况。

系统方程：

x?f(x)

y?h(x)成：

(9.1a)

(9.1b) 并假定存在一种坐标变换z??(x)，在此变换下，若上述方程变???(x).????(x)?z???x????f(x)???x?x??(z)??x?x??y??h(x)?x??(z)?Cz.?1?1.?Az?k(Cz)?1(z)

( A ,C )是能观测对，k(?)是n维时变函数的向量，则可构成这样的观测器：

??A???k(Cz)?GCz?GC??(A?GC)??Gy?k(y)

e???z????(x)e???z

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....

非线性系统控制理论

则误差动态：

e?(A?GC)??Gy?k(y)?Az?k(y) ?(A?GC)??(A?GC)z

?(A?GC)e

这是线性的。又因( A ,C )是能观对，故可通过n维实数向量G，使其特征值配臵在希望的位臵。

关键的问题是要找这样的坐标变换z??(x)，及与此有关的映射k(?)，这个问题就称为观测器线性化问题，其正式叙述如下： 已知一个无外加输入的系统( 9.1 )，及初始状态x，是否能找到一个x的邻域U，以及定义在U上的坐标变换z??(x)，和输出映射k：h(U)?R，使得对所有z??(U)，有：

0.0000n0????f(x)????x?x??

?1?Az?k(Cz)?1(z)

h(?(z))?Cz 其中矩阵A和行向量C是能观对，即满足：

?C????CA? rank???n

????n?1??CA?2.定理9.1：观测器线性化问题能解的必要条件是：

({dh(x),dLfh(x),?,dLf dimSpan00n?1h(x)})?n。

0证明：

由线性系统理论可知如果( A ,C )是能观对，则一定可以通过坐标变换将它化成所谓能观标准形，所以一定有这样的T和G使

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非线性系统控制理论

?1A?T(A?GC)T

?00???10????0?0??00?0??0?????10?C?CT?1?[0,?.1]

不失一般性，若( A ,C )能观测，则直接就假设它们具有这种形式。

如果新坐标取

?z1??? z????

???zn? 则有： y?Cz?zn

而由 可得：

z?Az?k(Cz)?Az?k(zn)

z1?k1(zn)..

z2?z1?kn(zn)?..

zn?zn?1?kn(zn) 故：h(x)?zn

.?zn?zn.Lfh(x)??f??x?zn?zn?1?kn(zn)?x?x

L2fh(x)??Lfh(x)?z?k(z)?f?n?1?f?nn?f?x?x?x 88

非线性系统控制理论

?kn(?)?zn.?zn?1???x

?zn?x?zn?2?kn?1(zn,zn?1)?Lifh(x)?zn?i?kn?i?1(zn,zn?1,?,zn?i?1)?Lnf?1h(x)?z1?k2(zn,zn?1,?,z2)???h(x)???h?z???h????z??x???z??dh(x)???x?dLh(x)???Lfh(x)???Lfh?z???Lfh?????z ?????f????????????x?z?x?z????x??????????n?1?n?1n?1n?1dLh(x)??f????Lfh(x)???Lfh?z???Lfh?????????x???z???x???z.?

?0?0???0?????1???1???1?????(x)?1??????x???????????

由于

??(x)?x为坐标变换的雅可比阵，它是非奇异的。

所以

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