反馈线性化原理的应用(6)

非线性系统控制理论

bn?1sn?1???b0G(s)?n

s???a1s?a0说明开环有n个极点和n-1个零点，零动态是渐近稳定的，说明所有零点均在左半平面，则从根轨迹的观点来看，当k??时，系统的所有极点或者趋向零点，或者趋向?，所以可使系统渐近稳定。

因此对于相对阶为1的线性系统来说，当所有的零点处在左半复平面时，对于充分大的开环增益，则所有根轨迹的分支也都处在左半复平面中。

3.推广：相对阶r?1时的情况。

对于这种情况，我们可以假设一个“虚拟”的输出函数w，在这个虚拟的输出下，使系统的相对阶等于1，然后再利用上述结果来处理。

现在令：

w?k(x)?Lrf?1h(x)?Cr?2Lrf?2h(x)???C1Lfh(x)?C0h(x)

其中C0,C1,则系统成为：

??,Cr?2是要选取的实数。

x?f(x)?g(x)u

w?k(x)若原系统在x0?0处的相对阶为r，则现在系统在x0?0处的相对阶为1。

因为：

Lgk(x0)?LgLrf?1h(x0)???C1LgLfh(x0)?C0Lgh(x0) r?10r?1?LgLfh(x)?LgLfh(0)?0所以就适用命题7.1。

现在就要检查以下系统的零动态的渐近特性。

以前已经指出，零动态是强使系统的输出为零时系统内部存在的一种动态，这个动态特性的本质与取什么样的坐标表示无关，现在虚拟的输出为w，所以当w=0时意味着：

w?Lrf?1h(x)???C1Lfh(x)?C0h(x)?0 如果我们仍采用原来的坐标Z，并且选择u(t)，使w(t)?0，就有： w?zr?Cr?2zr?1???C1z2?C0z1?0 即：zr??(Cr?2zr?1???C1z2?C0z1)。

???w??w并且：w?0,w??x?(f(x)?g(x)u) 可解的相应的u,则此

?x?x时的零动态用z及?表示为：

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非线性系统控制理论

?z1?z2z2?z3?

??zr?1?zr??(Cr?2zr?1???C1z2?C0z1)

,?(Cr?2zr?1???C1z2?C0z1),?)??0?这些方程具有一种“块三角形”的形式，（f阵形如? ）。因?????此当原系统的零动态的一阶线性近似是渐近稳定的，且下列多项式的所有根都具有负实部时，则该系统的一阶近似也是渐近稳定的。

n(s)?sr?1?Cr?2sr?2???C1s?C0

???q(z1,z2,?于是由命题7.1可得出，当n(s)的根都具有负实部，而且原系统的零动态的一阶线性近似是渐近稳定的，再取k的符号与Lgw(0)相同，即与LgLfr?1h(0)符号相同，则反馈控制：

u??k(Lrf?1h(x)?Cr?2Lrf?2h(x)???C1Lfh(x)?C0h(x)) （7.3）

能使系统在平衡点x=0处渐近稳定。

从式(7.3)可见，反馈w实际上是一种状态反馈（部分状态），因为L(fi)h(x)(0?i?r?1)与函数y对时间取i阶导数是一致的。所以当w用y来表示时：

w(t)?y(r?1)(t)?Cr?2y(r?2)(t)???Cry(1)(t)?C0y(t)

因而：w(s)?n(s)?y(s)。

所以所假设的虚拟输出w可以看成是原系统的输出y通过一个传递函数为n(s)的线性滤波器来得到的。然而由于n(s)是包含高阶微分的滤波器，因而是物理不能实现的。但是在不危及相应闭环稳定性的条件下可以用一个物理可实现的近似滤波器来代替。命题7.3（实际应有的考虑）

如果系统x?f(x)?g(x)?k(x)?K在平衡点x0?0处是一阶近似渐近稳定的，那么当T是一个充分小的正数时，系统：

1??()(???k(x)?K)T在(x,?)?(0,0)处也是一阶近似稳定的。其后一个方程可以用方框图表示。

??

x?f(x)?g(x)??? 81

非线性系统控制理论

? K?k(x)? ?K(x)k 1 1 ?或 Ts?1T

证明：该命题仍可以用奇异摄动理论来加以证明 若设一个新的变量z，并令：

z????k(x)?K? ??k(x)?1?k(x) z????K??x?()(???k(x)?K)?K?x?xT?x则：???z?k(x)?K 故：

? x?f(x)?g(x)?(?z?k(x)?K) Tz??z?TK(???k(x))[f(x)?g(x)?(?z?k(x)?K)] ?x??z?Tb(z,x)t，当T?0时，???，?表示一个慢变过程。 T???d?1?将zt?z????z?代入上式，得：z???z?Tb(z,x)。

dtT故当T??足够小时，第2项?0，该方程表示一个仅仅有一个为-1的非平凡特征值的子系统。除了这个子系统之外系统降阶为：

若令?? x?f(x)?g(x)?k(x)?K

综上所述，由假设x?f(x)?g(x)?k(x)?K的一阶近似是渐近稳定的，对于足够小的T，附加子系统的特征值又趋于-1，其一阶线性近似也是渐近稳定的，因此该系统在平衡点(x,?)?(0,0)处的一阶近似的确是渐近稳定的。这说明这样一个事实，即在闭环控制中引入“小时间常数”的非周期环节不会危害它的渐近稳定性（至少对局部来说）。

将该性质应用r-1次，我们立即可以得出下列结论。 5.命题7.4

假设系统在x0?0处的相对阶为r，并且其零动态的一阶近似是渐近稳定的。再假设下列多项式的根

n(s)?sr?1?Cr?1sr?2???C1s?C0

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??非线性系统控制理论

全都具有负实部，则具有下列参考函数的线性输出反馈控制

?Kn(s) H(s)? r?1(1?Ts)能稳定系统。只要K取适当大，且其符号与LgLrf?1h(0)相同；而T是充分小的正数。

4.6 关于精确化问题的补充 1.问题的提出：

回顾一下精确线性化问题的主要命题： 说的是系统

0x?f(x)?g(x)u 其状态空间精确线性化问题在

.x处能解的充分必要的条件是： 00n?20n?10adfg(x),adfg(x),adfg(x)]的秩是n。 ( i)矩阵[g(x),g}在x0处是对合的。

也就是说上述条件满足时一定存在一个实值函数?(x),当取y ＝?(x)时，使系统的相对阶为n。 adfg,?,adf( ii)分布D?Span{g, 现在的问题是，若上述条件不成立，则通过坐标变换和状态反馈

是不能使系统变成线性能控的系统的。但是否总能使系统分解为两个子系统，其中有一个子系统是线性的。我们希望至少能找到一种坐标变换及状态反馈使线性子系统的维数最大。换句话说找到一个适当的输出映射?(x)，此时系统在该点的相对阶最高。这个问题就是我们在本节中所要讨论的。

nv(?) ) 2.预备知识 —— 分布?的对合闭包( 记为i 分布的对合性：

fd。分布 ??Span{f1,?,fd}。 考虑向量场：f1,?,n?2fj]??,对所有 1?i,j?d 均成立， 充要条件：若李括号运算[fi,则?是 对合分布。

判别方法：

kf1,?,fd]??ran[kf1,?,fd,[fi,fj](x)] ran[ 若相等则是对合的。否则不是对合的。

从对合的性质可知：

若分布?1是对合的，?2也是对合的。 则?1??2不一定是对合的。

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非线性系统控制理论

但?1??2是对合的。 因此如果?不是对合的，

但?1包含?，而?1是对合的。 又?2包含?，?2也是对合的。

则?1??2也包含?，且?1??2是对合的。

则由所有包含?的对合分布族?1,?2,? 的交，可以得到一个包

nv(?)。 含?的最小的对合分布，称为?的对合闭包。记为i 对合闭包的求法，大致可以这样来做。

{f1,?,fd}，则若?不是闭合的，就是说 若分布??Span[fi,fj](x)不

在

?中，因而看看

???Span{f1,?,fd,[fi,fj](x)}是否是对合的。若??是对合的，

nv(?)来。 则??就是?的对合闭包。否则继续做下去，便能找出i2.定理8.1：

考虑分布?，并假设?(x)是实值函数，且d?(x)?0及d???，

0?(inv(?))。 那么在x的邻域上，d??证明：考虑分布??(Span{d?})，则这个分布在x的邻域上是( n - 1 )维的，

并由Frobenius定理可知?是对合的。再由构造可知???。

nv(?)是包含?的最小对合分布。所以： 由定义可知i(?) ??inv?0?0nv(?))。 即是：Span{d?}?(i3.定理8.2( 最大相对阶定理 )

考虑一对向量场f( x )，g( x )。假设对某个整数?，在某x处有：

0?m(inv(Span{g,adfg,?,adf ( 1 )di 则就存在一个函数?(x)使系统

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??2g}))?k?n。而

m(inv(Span{g,adfg,?,adf ( 2 )di??1g}))?n

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