反馈线性化原理的应用(5)

非线性系统控制理论

?z1??h(x)z1??x?[f(x)?g(x)u?p(x)w]?x?x ?Lfh(x)?Lgh(x)u?Lph(x)w??Lfh(x)?z2（其中因相对阶为r，Lgh(x)u?0。由于条件成立Lph(x)w?0。）

z2???Lfh(x)?x?x?L2fh(x)?LgLfh(x)u?LpLfh(x)w但?x???Lfh(x)[f(x)?g(x)u?p(x)w]

?z3（同理LgLfh(x)u?0LpLfh(x)w?0。）

?

直到

zr?1?zr

?zr?Lrfh(x)?LgLrf?1h(x)u?LpLrf?ih(x)w

（其中LgLrf?1h(x)u?0当取u??Lrfh(x)LgLrf?1h(x)?vLgLrf?1h(x)??LpLrf?1h(x)w?0）

时，zr?v。

故方程变成：

??2??0???????????????v

??r??0??????0??1???q(?,?)?k(?,?)w y??1?z1从此式可见w影响不了y。

? 75

非线性系统控制理论

(2)必要性：

若系统通过状态反馈u??(x)??(x)v实现了干扰解耦，无论v是否为零，对于干扰解耦没有影响。所以：

??x?f(x)?g(x)u?p(x)w???f(x)?g(x)?(x)?p(x)w ??y?h(x)?? 是干扰解耦的。

?h(x)??h(x)(1)y??x?[f(x)?g(x)?(x)?p(x)w] ?x?x?Lfh(x)?Lgh(x)??(x)?Lph(x)?w （其中因相对阶为r，Lgh(x)??(x)?0。） 因为y(1)与w无关，只有使Lph(x)?0。

?x （其中LgLfh(x)??(x)?0。）

y(2)??Lfh(x)?x?L2fh(x)?LgLfh(x)??(x)?LpLfh(x)?w

? 因为y(2)与w无关，只有使LpLfh(x)?0。 如此一直求下去，应有LpLrf?1h(x)?0。

此时y(r)?Lrfh(x)?LgLrf?1h(x)??(x)（其中LgLrf?1h(x)??(x)?0）。 而

Lrfh(x)LgLrf?1h(x)?(x)?? 所以条件：LpLifh(x)?0,。

0?i?r?1，x在x0领域中是必要的。

3. 几点评注：

（1）前面已经提过，可以选择：

v??(C0h(x)???Cr?1Lrf?1h(x))?v

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非线性系统控制理论

通过选择C0,?,Cr?1使系统满足一些附加的特性——具有一定收敛速度的渐进稳定性。

（2）条件LpLifh(x)?0的几何选择：

因为LpLifh(x)?0，即dLifh(x)?p(x)?0。 或 ?dLifh(x),p(x)??0{dh(x),则令协分布??Span?0?i?r?1

,dLrf?1h(x)}，那么条件就是

p(x)???(x),x?x0的邻域。

（3）当干扰w可“量测”时，则可以通过测量得到的w来构造一个前馈补偿，使系统达到干扰解耦。即取u??(x)??(x)v??(x)w。

x?f(x)?g(x)u?p(x)w?f(x)?g(x)?(x)?g(x)?(x)v?g(x)?(x)w?p(x)w

?f(x)?g(x)?(x)?g(x)?(x)v?(g(x)?(x)?p(x))wy?h(x)

与命题的情况相比较其干扰解耦的条件为：

(g(x)?(x)?p(x))???，即Lg??pLifh(x)?0。 因

?Lg??pLifh(x)?dLifh(x)(g??p)?Lg?Lh(x)?LpLh(x)?0 结合系统的相对阶为r，故得出下列条件：

（i） 当0?i?r?2时，LpLifh(x)?0。

（ii） 当i?r?1时，Lg?Lrf?1h(x)?LpLrf?1h(x)?0。 即：LgLrf?1h(x)??(x)?LpLrf?1h(x)?0 解得：

LpLrf?1h(x)LgLrf?1h(x)ifif(0?i?r?1)

?(x)?? 综上所述：

u??

Lrfh(x)?v?LpLrf?1h(x)wLgLh(x)r?1f

此条件弱于命题6.1的条件。

4.5 高增益反馈 1.问题的提出：

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非线性系统控制理论

前面我们已经讨论了局部镇定问题。说的是若零动态的一阶近似是临界的，但是零动态是渐进稳定的，则可以通过状态反馈使系统渐近稳定。这一节我们将讨论如果零动态的一阶线性近似是渐近稳定的，则用输出反馈就可以局部镇定系统。 2.命题7.1：考虑系统：

x?f(x)?g(x)u

y?h(x) 且设f(0)?0,h(0)?0 。并假设系统的相对阶r=1，而且其零动态在x=0处的一阶线性近似是渐近稳定的，即下列矩阵的特征值都具有负实部。

??q(?,?)? Q?? ?????(?,?)?(0,0)则考虑用输出反馈来构成闭环控制。此时 x?f(x)?g(x)u,u??kh(x)其中为保证系统为负反馈，取 若Lgh(0)?0，取k?0； 若Lgh(0)?0，取k?0。

那么就存在一个正实数k0，使得对于所有k?k0，系统在x=0处是渐近稳定的。 证明：（严格的证明可参阅奇异摄动理论）

我们来证明Lgh(0)?0的情况（Lgh(0)?0的情况完全类似）。

1令k??，当??0时，k??。

??y?h(x)

?故 x?f(x)?g(x)(?k?h(x))?f(x)?则 ?x??f(x)?g(x)h(x)?F(x,?)。

??1??g(x)h(x)

令 t????，则 x(t)?x(???)。记为 x???dxdxdt。 ??d?dtd?故：x??x????f(x)?g(x)h(x)?F(x,?) 对于平衡点：x??0，则 F(x,?)?0。当 ??0时，就有F(x,0)?0。

t 由于??，所以x?表示的是慢变状态，x??F(x,0)。

?取其一阶线性近似，可得雅可比阵：

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非线性系统控制理论

?(g(x)h(x))?g(x)?h(x) ??h(x)?g(x)??x?x?x因在平衡点处h(x)?0，而g(x)?0，故：

?h(x) Jxg(x)?g(x)?g(x)?g(x)?Lgh(x)

?x这就说明g(x)是Jx的特征向量，特征值是?(x)?Lgh(x)?0，因而

Jx?x??F(x,0)是渐近稳定的。

由于已知系统的相对阶r=1，所以其正则形为：

?1?b(?,?)?a(?,?)?u ??q(?,?)y??1故u??kh(x)??k?1????

1??1

??则有??1???b(?,?)?a(?,?)??1，且?????q(?,?)。

??????b(?,?)??a(?,?)???1所以有： ???1????? ????????q(?,?)??0???因此从前面的讨论可知当??0时，系统时渐近稳定的。 由于在平衡点处y???0。所以??q(0,?)正是系统的零动态。由

于已假设的零动态有一阶线性近似是渐近稳定的，所以总可以存在一个足够小的?0?0，只要??(0,?0)，系统在x=0处是一个孤立的平衡点，并且是渐近稳定的。

附注：用线性系统为例理解：

y

G（s）

K

对线性系统来说，如果相对阶为1，则意味着G(s)的分子与分母的阶数相差为1。

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