反馈线性化原理的应用(3)

非线性系统控制理论

两个子系统。对于能控的子系统总可以通过状态反馈, 使其特征值处在复平面上任意给定的位臵,对于不能控的子系统则状态反馈就不能使特其特征值配臵在任意位臵。

所以一个线性系统能稳定化的充要条件是: 当不能控子系统的特征值均在复平面的左半平面,则整个系统是能稳的。否则系统是不能稳的。

3.命题4.1：假若非线性系统的一阶线性近似系统是渐近能稳的，则原非线性系统也是渐近能稳的，反之亦然。

x?f(x)?g(x)u??f?A???因为非线性系统 f(x)?Ax?f2(x) ,其中 ??x?x?0B?g(0).。

g(x)?B?g1(x) 若取 u=Fx,

则x?f(x)?g(x)?Fx?(A?BF)x?f2(x)?g1(x)Fx。 所以当线性近似系统是能稳的，则（A＋BF）的特征值均具有负实部。而在x?0邻域上，后两项是 x的2阶小量。此时该非线性闭环系统在 x处也是局部渐近稳定的。反之若线性近似系统是不能稳的，则不管 u??(x)取什么规律，其线性近似系统是总有右半平面的特征值，因而原非线性系统也是不可稳的。

由一阶线性近似系统的渐近稳定来判别原非线性系统是否渐近稳定，称为“一阶线性近似稳定性判别原则”，它早由李亚普诺夫和庞加莱所证明。

注意：以上命题没有说明当线性近似系统的不能控子系统中仅仅包括有虚轴上的特征值时，非线性系统是否能稳的情况，这种情况称为局部能稳的临界问题。

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0á0.非线性系统控制理论

4.命题4.2( 临界问题 )，若系统的零动态在 ??0处是渐近稳定的，那

?)?(0,0)处渐近稳定。 么通过状态反馈可以使原系统在 (?,〖证明〗：

(1):若系统的相对阶为 r,则可将系统化成正则形

??2??0???????..???????u,??q(?,?)。 ??r??0??????b(?,?)??a(?,?)??)?Lfh(x), 其中 b(?,

(2):取

ra(?,?)?LgLfh(x)?0。

r?1u?(?Lfh(x)?C0?1?C1?2???Cr?1?r)r?1LgLfh(x)1r

?(?Lfh(x)?C0h(x)?C1Lfh(x)???Cr?1Lfh(x))

r?1LgLfh(x)1rr?1Cr?1取得适当， 可将该子系统化成线性能控的。则只要 C0,?,总能使

?表示的线性子系统的特征值处在左半复平面内，使该子系统

0)??q(?,?)在(?,?)?(0,.是渐近稳定的。

(3):而另一方面零动态所表示的子系统

处是渐近稳定的。

因而综上所述整个系统是渐近稳定的，也即原非线性系统在(?,?)?(0,0)处是能渐近稳定化的。

又若在上述情况中取

u?(?b(?,?)?C0?1?C1?2???Cr?1?r?v)

a(?,?)..1 则系统为 ??A??Bv,??q(?,?)。由于有参考输入 v的作

用，则当系统是渐近稳定的，v 又是有限的，则运动的轨迹也是有界的。

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非线性系统控制理论

5.临界问题举例： 考虑系统

?x1x2?x13??0?????.?x1??2?2x3? x??????u y?h(x)?x4

??x3??1???x2???1?x2??0?????L???fh(x)??h?x?f??0001???????x2 1?x2???x21?x?2??0??LgLfh(x)??2x1100??2?2x??3???2?2x 3?0?1???0??( 若x3??1)

?当 x3??1时其相对阶为 2。

坐标变换：

z1??1(x)?x4

z22??2(x)?x1?x2z3??3(x)?x3??z?4??4(x)?x1? 取 ? 检查:(1)雅可比阵

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Lgh(x)?0 非线性系统控制理论

?0????2x1:??x?0??101??100??

010??000?0? 其行列式 det?()??1?0 非奇异。

(2)

?xLg?3??001?0??????0????1?0?1??0????0??????0????0????0???

Lg?4??100 故不满足正则形，但可进行变换。 反变换：

x1?z4x2?z2?z4

x3?z3x4?z1 故 因取

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2z1?z2.z2?2x1x1?x2?2z4(z2z4?2z4)?z4?(2?2z3)u...2.

非线性系统控制理论

?z1??z3?????,????。

???z2???z4?? 当考虑平衡点 ?(0)?0时，即有：

u?

原系统:

z4?4z42?2z33

0??0000????000??1000???f?A???????

0?10???x?x?0?00?10???100?x?0?0100???0????2?B?g(0)???

?1????0? 原系统中含有不能控的运动模态且其特征值??0,即临界状态。其

零动态：

?x2?3x1??1???0??2x1x10z3??z3?u??z3?z4??2z4.3.z4?4z42?2z34

可由李亚普诺夫定理证明零动态是渐近稳定的，但是其一阶近似是临界的。这就适合于命题4.2的情况，因而系统是可以渐近稳定的,只要取

u?(?Lfh(x)?C0h(x)?C1Lfh(x))

LgLfh(x)12

4.3 渐近输出跟踪 1. 何谓渐近输出跟踪:

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