非线性系统控制理论
CAB?LgLfh(0)?0CAB?LgLfh(0)?0r?1r?1kk 对所有k 也就是说原系统在 x=0 处的线性近似系统，它的相对阶就等于r。则非线性系统的正则形的相应项可以写成下列展开式： b(?,?)?R??S??b2(?,?) a(?,?)?K?a1(?,?)q(?,?)?P??Q??q2(?,?) 则其零动态的线性近似式为 ??q??q2??Q???Q ????????(?,?)?0??????(?,?)?0. 所有??Q? 描写了当?≡0 时，原系统在η=0 处的零动态的线性近似，它与整个系统在 x=0 处的线性近似的零动态是一致的。 例3.2 我们来分析下列系统的零动态 ?x3?x23??0?.???? x???x2????1?u y?x1 ?2?????x1?x3???1? 则有： Lgh(x)?0Lfh(x)?x3?x232 LgLfh(x)?1?3x2 因此其相对阶 r=2，为了化为正则形，取 z1?x1z2?x3?x2z3?x2?x3(Lg?3??03 ?0???11???1??0)???1?60 于是在新坐标下系统的方程为 非线性系统控制理论 ..z1?z2.2z2?b(z1,z2,z3)?a(z1,z2,z3)u z3?z1?z3 从零动态的意义可知，y(t)=0 意味着z1(t)?z2(t)?0，所以系统的零动态为： .z3??z3 (3)非正则形时的零动态： 虽然上述零动态的分析是在正则形的条件下进行的，但是由于坐标变换中的η状态变量要满足 Lg?i(x)?0 常常有难处。于是得到的是非正则形，系统的描述成为： z1?z2z2?z3. .....zr?1?zr zr?b(?,?)??(?,?)u?..?q(?,?)?p(?,?)u.. 我们可以看出方程的前面几个变量与正则形是相同，所以从零动态的概念出发，应有y(t)≡0，所以：z1?z1?z2?? 由此可得u??.???zr?0。 .b(?,?)a(?,?)， 所以 ??q(?,?)?p(?,?)(?.b(?,?))， a(?,?) 则零动态为： b(0,?)??q(0,?)?p(0,?)。 a(0,?)(4)几何观点： 61 非线性系统控制理论 若系统在某点x处的相对阶为r，则有 (k)ky(t)?Lfh(x(t)) 0 ≤ k ≤ r-1 0y(t)?Lfh(x(t))?LgLfh(x(t))(ut) 对于输出零化问题，则有y(t)?0，0 ≤ k ≤ r-1。故系统一定 0在下面的子集上运动( 局部地围绕x) ?nr?1z?{x?R:h(x)?Lfh(x)???Lfh(x)?0)。 ?,zr均为零的点集上运动， 也就是说在新坐标下，恰恰正是z1,z2,且附加的限制条件： (r)rr?1y?Lfh(x(t))?LgLfh(x(t))(ut)?0 图4.6表示了在新坐标下零动态的几何表示 (k)(r)rò?r?1 图 4.6 i0 因为微分 dLfh(x)，0 ≤ i ≤r-1，在 x 处是线性无关的。所以 z 处在 x 附近的一个 n-r 维的光滑流形，其状态反馈为 r?Lfh(x)?u(t)? r?1LgLfh(x) 因为 ?Lfh(x)??dh(x)??Lfh(x)?Lgh(x)u(x)???2??2??Lfh(x)??dLh(x)???f?(f(x)?g(x)u?(t))??Lfh(x)?LgLfh(x)u(t)??????0???r?1?????Lh(x)?r??r?1?r?1??f?Lh(x)?LLh(x)u(t)??fgf?dLfh(x)????0??? 所以向量场 ?0f(x)?f(x)?g(x)u(x) 是与 Z子集相切的。 ?x?f(x) 的任何运动轨迹从Z上的某.????也就可以由此推得闭环系统 62 非线性系统控制理论 点开始一直在Z中运动(对于小的时间t 内)。约束条件f(x)是Z的一个确定的向量场。它精确的描写了系统的零动态,而与所取的坐标无关。 (5) 零动态在精确线性化下的不变性 若系统的相对阶为 r, 又 r ??A??Bv??q(?,?), y?C? .?0??0?A?其中???0?0?10?00?1??0?????C??10???? 0??0????0???????B?, ????, ???1??0??1?0???? 当线性子系统初始时是静止的, 即 y(0)=0, 而且在此后又没有输入作用（指V=0）, 因而可保持 y(t)=0。也就是说 ?(t)?0。这时整个系统即闭环系统的内部动态就是??q(0,?),也即是开环系统( 原系统 )的零动态。 ( 6 )参考输出的再产生问题。 输出零化问题实质上是强迫输出去精确的跟踪零。我们很容易推广到这样的情况,即是否可强迫输出去跟踪一个任意的函数yR(t)。这一个问题被称为参考输出的再产生问题。说得具体一点就是若有可能, 寻找成对的x,0.u(t).x是初始状态。u(t)是定义在t=0的邻域上 000 63 非线性系统控制理论 的输出函数, 使系统的输出 y(t)在 t=0的所有邻域 t上与给的yR(t)精确地相一致。 则与前面的分析相类似, 因为要求y(t)?yR(t), 这就意味着: y(t)?yR(t),对所有的 t和所有的 i。因而至少zi(t)?yR(t),对所有的 t和 1?i?r。 (1)(r?1) 令 ?R(t)?Col(yR(t),yR(t),?,yR(t)),因而输入 u(t)必须满足 (i?1)(i)(i)yR(t)?b(?R,?)?a(?R,?)u(t), 其中?(t)是下列微分方程的解 (r)??q(?R(t),?(t)) (3.3) 为使 y(t)?yR(t), 首先应保证在初始时刻,?(0)??R(0),而 ?(0)??是可以任选的 。于是按照所选的 ?,则 (r)yR(t)?b(?R(t),?(t)) u(t)? (3.4) a(?R(t),?(t)) 所以为了使系统的输出能精确地跟踪给定的 yR(t),首先在初始 时刻, 必须“对准”,即 ?(0)??R(0),然后由给定的 00.?R(t)和 ?,解 0方程(3.3)得出 ?(t),再由(3.4)式解出 u(t) 。这个输入 u(t)是能保持 y(t)?yR(t)的唯一解。从上述过程可以看出,(3.3)和(3.4)式好像构造了一个以 ?R(t)为输入, ?(t) 为状态, u(t)为输出的“系统”,它被解 释为原系统的“逆实现” 。 4.2 局部渐近稳定化(镇定) 1.问题的提出: 考虑系统 x?f(x)?g(x)u, 00 平衡点 x,不失一般性可取 x?0 (移动坐标原点) 。能否找到 一个控制 u??(x) (状态反馈),使系统 x?f(x)?g(x)??(x)在处是渐近稳定的,称为局部渐近稳定问题。 后面的讨论将说明零动态的概念对处理这个问题是很有用的。 2. 线性系统能否稳定化的回顾: 对于一个线性系统, 通过合适的分解总可以分解成能控和不能控 .. 64 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库反馈线性化原理的应用(2)在线全文阅读。
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