反馈线性化原理的应用

非线性系统控制理论

第四章 反馈线性化原理的应用

在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。 4.1零动态

在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念—“零动态”。在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。即若任何一个线性系统其相对阶r严格小于其维数n，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n，则传递函数中就没有零点。所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。在这一节中这种类比将进一步推广。 考虑一个相对阶r严格小于n的非线性系统

x?f?x??g?x?u

?y?h?x?

则可通过坐标变换，变成正则形：

?h?x????Lhx??f?????????z1????， ?????， ??Z???x???Lrf?1h?x???????????r?1?x???????zr????????????x???n???r?1?x???? 其中???，若能使Lg?i?x??0, r?1?i?n

???n?x??? 则可将系统变成下列形式：

?zr?1???? ????zn??z1?z2 z2?z3

?

??zr?1?zr

zr?b?z??a?z?u

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??非线性系统控制理论

?zr?1?qr?1?z?

? zn?qn?z?

? 或写成：

??2??0????????????u ?????r??0?????a?,?b?,????????????q??,??

若x0是使fx0?0,hx0?0的点，则在x0一定有??0，虽然此时

??????可以任意选择，但是不失一般性，可以选??0，如果x0是系统的一个

平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。

因而有：

b??,???0 当??,????0,0?时

q??,???0 当??,????0,0?时

这也就是说，在x0?0，系统处于平衡状态下，若此时及以后又没有输入作用（即u?0），则该系统就一直处于平衡状态。 1.输出零化问题和零动态 现在提出一个这样的问题：

u0?t? 能否找到这样成对的关系：即某个初始状态x0，及对应的u0?t?，定义在t?0的一个邻域上，使得系统在t?0的邻域上输出y?t?恒等于0。

这个问题被叫作输出零化问题。当然我们感兴趣的是所有这样的对子x0,u0，而不是前面提到过的x0?0,u0?0简单的平凡对。

?? 对于正则形有： y?t??z1?t?

由于限制在所有t时刻y?t??0，这就必须有：

z1?t??z2?t????zr?t??0

???也就是说在所有时刻??t??0。

所以，我们可知当系统的输出恒等于零时，其状态也以这样一种方

式受到限制，这时??t?也恒等于零。并且u?t?必须是下列方程的唯一解。

0?b?0,??t???a?0,??t???u?t?

其中a?0,??t???0，当??t?趋近于零时；

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非线性系统控制理论

??t?应服从下列微分方程，因为到目前为止，我们只知道??t??0。

??t??q?0,??t?? （3.1）

由于??t?与输出不直接有关，所以要使y?t?保持为零，只要

0??0??0,而??0???0可以任意来选择，但是对于不同的?，要解得??t?，再取

b?0,??t??u?t??

a?0,??t???才能使y?t?保持为零。

当初始条件选择为??0??0，及??0???0时，上述的解u?t?是唯一的。方程（3.1）描写了系统内部的这样一种动态特性，即在限制输出恒为零的条件下，对于所选择的初始条件，并由此而解出的控制作用u?t?下，系统内部的动态特性。这个动态在我们今后的讨论中颇为重要，被叫作系统的零动态。

2.关于零动态的几个评注：

（1）对于线性系统而言，零动态是这样一个特殊的线性系统的动态：这个系统的极点或特征值是原系统的零点；即以原系统传递函数的分子多项式为其特征多项式的线性系统的动态。

现在我们来说明这一点，假定线性系统的传递函数为：

b0?b1s???sn?rH?s??K na0?a1s???s 可知其相对阶为r，若该系统传递函数的分子与分母是互质的，则容易得出其一种最小实现为：

x?Ax?Bu y?Cx

其中：

10?0??0?0??0???01?0???????? B???? A????????1???0?????a1?a2???an?1???k??C?b0b1?bn?r?110?0

化为正则形后

z1?Cx?b0x1?b1x2???bn?r?1xn?r?xn?r?1

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?非线性系统控制理论

z2?CAx?b0x2?b1x3???bn?r?1xn?r?1?xn?r?2

?

zr?CAr?1x?b0xr?b1xr?1???bn?r?1xn?1?xn

再取：

zr?1?x1 zr?2?x2

? zn?xn?r

它使Lg?i?0，且 因为

?0???1??*???????????????**1??? ???0??00???x??1?????????????????0?1????0?0????? 容易验证它是非奇异的。因而用该坐标变换可以化成正则形，其形式为：

??z1?z2?01?0???0??????????z2?z3?????0??????u?????1?????????0? ??????0??0??zr?1?zr?????K???RS?????zr?R??S??Ku???是非奇异的。 ?x??P??Q? 根据零动态的意义，??0，所以有 ??Q?

1 此时应取 u?t??S??t?

K 因：

?? 58

非线性系统控制理论

dzr?1dx1???x2?zr?2?dtdt?dzr?2dx2??x3?zr?3???dtdt ?????dzdx?n?n?r?xn?r?1??b0x1?b1x2???bn?r?1xn?r?z1dt?dt????b0zr?1?b1zr?2???bn?r?1zn?z1 由于 ??0，故z1?0

故：

1??0??0?001?0?????? Q?????00??1?????b0?b1???bn?r?1?? 由此零动态的特征多项式为：

det?SI?Q??b0?b1S???bn?r?1Sn?r?1?Sn?r

此即为原系统传递函数的分子，因而零动态的极点就是原系统的零点。

( 2 ) 非线性系统的零动态在η=0处的线性近似与整个非线性系统在x=0处的线性近似系统的零动态是一致的。也就是说取零动态与取线性近似的操作运算本质上是可以交换的。

为了校验这一点，我们必须做的仅仅是要说明正则非线性方程的线性近似与原系统线性近似的正则形是一致的。并且非线性系统的相对阶与其线性近似系统的相对阶也是一致的。 前面业已介绍

f(x)?Ax?f2(x)

g(x)?B?g1(x) 同理

h(x)?Cx?h2(x)

由递推关系，容易计算

Lfh(x)?CAx?dk(x)

??d??0 其中函数dk(x)使得 ?k???x?x?0 由此可以推出

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