反馈线性化原理的应用(4)

非线性系统控制理论

前面业已提出欲使系统的输出能精确地复现给定的参考输出yR(t)必须满足这样两个条件:

(1):初始时刻要对准,

(0)(r?1) 即 ?(0)??R(0)?Col(yR(0)yR(0)?yR(0)) (2):

u(t)?.yR(t)?b(?R(t),?(t))a(?R(t),?(t))(r)

0(t)?q(?R(t),?(t))在初始条件?(0)??下的其中?(t)是?解

。

这实际上是种开环处理的方法，很难达到目的。 (1)初始时刻很难对准。

(2)何况可能存在干扰，使y(t)偏离期望的值。

所以比较现实的是不论初始状态是否有偏差，也不论是否受到扰动，要研究实际的输出能否渐近收敛到所给定的参考函数yR(t)，这个课题就叫做渐近输出跟踪。 2.如何实现渐进输出跟踪：

自动控制原理中的一个最重要的概念：反馈！ 我们来研究一下如何利用反馈来实现。 从正则形出发：

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非线性系统控制理论

.z1?z2z2?z3?.zr?1?zrzr?b(?,?)?a(?,?)?u...

??q(?,?)y?z1 我们来定义一个新的变量“误差”： e(t)?y(t)?yR(t)。

因y?z1,?用

e1(t)?z1(t)?yR(t)e?e2(t)?z2(t)?yR(t)e?e3(t)?z3(t)?yR(t)?ee(r?1)..(2).(1)

?er(t)?zr(t)?yR..(r)(r?1)(t)(r)?er(t)?zr(t)?yR(t)选择控制u的目的：

(1)一方面使系统精确线性化。

(2)构成负反馈，驱动系统向着消除误差的方向运动。

e(t)?????r1(r)(i?1)(?b(?,?)?yR(t)??Ci?1(zi?yR)) 故选择：u(t)?i?1a(?,?)i 我们将该控制规律代入zr式，得：

.zr?yR(t)?C0e1?C1e2???Cr?1ere 即：

(r).(r)??C0e?C1e?Cr?1e(r?1)(1)???Cr?1e(1)(r?1)

e(r)???C1e?C0e?0。

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非线性系统控制理论

Cr?1取得好， 这是误差e的r阶线性常微分方程。只要系数C0,?,让其特征方程的根均在左复平面内，不论初始误差多大，最后均能使 e

及其各阶导数收敛到零，而且收敛的快慢在理论上也可以由系数C0,?,Cr?1的配臵来决定。 由于

zi?yR 故

(i?1)?e(i?1)

(1)(r?1)?R(t)?Col(yR(t),yR(t),?,yR(t))

?(t)?Col(e(t),e(1)(t),?,e(r?1)(t)) 因此?(t)应满足下列微分方程：

??q(?R(t)??(t),?(t))

. 由于?R(t)是时间的确定函数，因而由上述 u 所驱动的系统本质上是时变非线性系统。

3.推广：渐近模型匹配 (1)何谓渐进模型匹配：

若期望的输出yR(t)不以某时间确定函数的形式给出，而以某参考模型的输出的形式给出，特别是参考模型是一个简单的线性系统，例如：

??A??Bw

yR?C? 则提出问题：找一个反馈控制规律，不论系统和模型的初始状态如何，使系统的输出y(t)渐近地收敛到在w(t)作用下参考模型产生的相应输出 yR(t)。

(2)如何实现：

我们可以考虑采用前述相似的控制u。因为

. 72

非线性系统控制理论

yR(t)?C?yR(t)?C??CA??CBwyR(t)?CA??CBw?CA??CABw?CBw....2...

?(i)yR(t)?CAi??CAi?1Bw???CBw(i?1)r1(r)(i?1)u(t)?(?b(?,?)?yR(t)??Ci?1(zi?yR))a(?,?)i?1

因此可以看出在控制 u(t)中包含?,?,?还有 w(t)的各阶导数。如果用一个专门的装臵来得到 u(t)，那么对 w(t)的微分将不可避免的提升附加噪声的影响，这在实际中是很难处理的。

然而若模型的相对阶等于或大于系统的相对阶 r,则由于:

CB?CAB???CAB?0yR(t)?CA?(r)r(i)ir?20?i?r?1

r?1yR(t)?CA??CABw 则 u(t)得到简化,不包含 w(t)的导数。此时

r1rr?1u(t)?(?b(?,?)?CA??CABw??Ci?1(zi?CAi?1?))a(?,?)r?1?1LLh(x)r?1gf(?Lh(x)?CA??CABw??Ci?1(Lif?1h(x)?CAi?1?))rfrr?1i?1r??(?,x)??(?,x)w

当C0,?,Cr?1选得恰当时，误差及其各阶导数将收敛到零，即意味着输出y(t)渐进的接近模型的输出yR(t)。因?(?)是线性系统，故：

yR(t)?CeAt?(0)??CeA(t??)?Bw(?)?d?0tt?y(t)?e(t)?Ce?(0)??Ce0AtA(t??)

Bw(?)?d? 73

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以图表示：

w ?yR?C???A??Bw ? ?

x?f(x)?g(x)u ? ( ? , x ) ? ) w u ? ( ? ,x y?h(x)w x

4.4 干扰解耦 1. 何谓干扰解耦： 考虑系统

?e?0 y x?f(x)?g(x)u?p(x)w

y?h(x) w(t)为干扰——不希望的输入。

我们希望通过反馈控制u??(x)??(x)v，使系统的输出y与w无关，就是说y与w解耦。研究这个问题就叫做干扰解耦问题。

2. 命题6.1：若系统在x0处的相对阶为r，则当且仅当LpLifh(x)?0，对所有0?i?r?1和所有x0附近的x成立，则干扰解耦问题有解，且解为：

Lrfh(x)v? u??

LgLrf?1h(x)LgLrf?1h(x) 证明：

（1）充分性：因

x?f(x)?g(x)u?p(x)w

y?h(x)相对阶为r，为使其成为正则形，取坐标变换。则：

z?Col[h(x)Lfh(x)?Lrf?1h(x)?r?1??n(x)]

? 74

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