试验设计(陈魁)附录A(8)

?A2.1.6?

样本方差

S21n?(Xi?X)2. ?n?1i?1?A2.1.7?

定理A2.1.2 样本均值依概率收敛于总体均值E(X)，样本方差依概率收敛于总体方差V(X).

5.统计量

定义A2.1.1 设X1,X2,?Xn是总体X的样本，g(X1,X2,?,Xn)是样本的一个连续函数。若此函数中不含任何未知参数，则称函数g(X1,X2,?,Xn)为一个统计量。

A2.1.2 抽样分布

统计量的分布称为抽样分布。求统计量的分布是数理统计的基本问题之

一。

1.?（卡方）分布

（1）定义A2.1.2 设总体X?N(0,1),X1,X2,?Xn是X的简单随机样本。统计?为

??2222X1?2X2????n??Xi,Xi?N(0,1). 222i?1n?A2.1.8?

则称?所服从的分布为自由度是n的?分布，记作??它的概率密度函数为

n?2?1?()? f(x)??2??(n)?2?0,?22?2(n).

xxn?1?22e,x?0, ?A2.1.9?

x?0.图形如图A2.1.1所示。

当n?1时，?(1)分布又叫做?分布。当

0.5 222分布的可加性定理：若 ?(1)，0.4 1 220.3 ?(2)，且互相独立，则 n=2 n=1 2 2220.2 ??(n1?n2)。 n=6 12 0.1 (A2.1.10) 2n?2，

?2(2)分布就是指数分布。 ???n??n??? (2)14

?2(n)分布表及用法 0 2 4 6 8 10 12

2 对给定的?(0???1)，若有一点?(n) x

?满足条件 图A2.1.1 p??2??(n)???22???2??(n)f(x)dx??, (A2.1.11)则称此点为?(n)分布的上?分位点（见图A2.1.2）。

对于不同的?,n,可供查用。

2.t分布

(1)定义 A2.1.3 设U???0,1?,V??2称为?(n)分布表（见附表4）.(n)的数值已制成数表，

2?2(n),且U,V相互独立，记

??UV，

n(A2.1.12)

则称?所服从的分布为自由度是n的t分布，记作??t(n)。 它的概率密度函数为 f(t) n?1n?1?22?()t). 2f(t)?(1?nn??()n2 (A2.1.13) ?

图形如图A2.1.3所示。f(t)是偶函数，图形关 ?(n) x

?2于t?0对称。 图A2.1.2

可以证明

limf(t)?n???1e2??t22??(t),

(?2.1.14)

即t分布以??0,1?分布为极限分布，当n充分大时，t分布近似??0,1?为分布。 f(t) n=?（正态） n=10 n=1

0 t 图A2.1.3

(2)t(n)分布表及用法

对给定的?(0???1)，若有一点t?(n)满足条件

f(t)dt??, p(??t?(n))??t?(n)??(?2.1.15)

则称此点为t(n)分布的上?分位点（见图

A2.1.4）。

由于f(t)图形的对称性，有 (?.2.1.16)

f(t)

对于不同的?,t,t(n)?的数值已制成数表， ? ?

称为t?(n)分布表（见附表3），可供查用。 表中所列n最大为45，当n?45时，就用 t(n) 0 t(n) t

1?????0,1?分布近似。 图 A2.1.4

t?(n)?z?(?.2.1.17)

其中z?为??0,1?分布的上?分位点，即

???1?x22z2?edt??,

?(?.2.1.18)

1??z????(x)dx??,

(?.2.1.19)

1??(z?)??,?(z?)?1??.

(?.2.1.20)

由此可查出z?。

3.F分布

这是两个随机变量之比的分布问题。

(1)定义?2.1.4 设U??2(n21),V??(n2),且U,V相互独立，记

U F?1Vnn2(?.2.1.21)

则称F所服从的分布为自由度是?n1,n2?的F分布，记作 F?F?n1,n2?(?.2.1.22)

，

，

。

F的概率密度函数为

n?n?n)??(n)(n1y)(1?n1y)2?(f(y)??nnnn2n2??(2)?(2)??0,112?1?nn?12221,y?0,

122,y?0.(?.2.1.23)

f(y)的图形如图?2.1.5所示。

性质： 1○

若

W?F(n1,n2),则

1?WF(n1,n2),.

(?.2.1.24)

2F1??(n1,n2)?○

1F?(n,n)12. (?.2.1.25)

(2)F分布表及用法

对给定的?(0???1)，若有一点F?(n1,n2)满足条件

f(y)dy??, p(F?F?(n1,n2))??F?(n1,n2)??(?.2.1.26)

则称F?(n1,n2)为F(n1,n2)分布的上?分位点，如图A2.1.6所示。

对不同的?,n1,n2,F?(n1,n2)的数值已制成数表，叫做F(n1,n2)分布表（见附表5），可供查用，比如F0.05(12,15)?2.48。

1.0 0.8

0.6 n1f?y? ?10,n2?50

?10,n2?4

0.4 n1 0.2

0 1 2 0 F?n2? ?n1，

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