???n P??Bi|A???P?Bi|A? ;
?i?1?i?1(4)对任意事件B1,B2,有
PB1 2.乘法定理
由条件概率定义式(A1.1.10),在P?A??0的条件下有
P?AB??P?A?P?B|A?.
??B2|A??P?B1|A??P?B2|A??P?B1B2|A?.
(A1.1.11)
同样,在P?B??0的条件下有 P?AB??P?B?P?A|B?.
(A1.1.11) 这就是概率的乘法定理,
乘法定理推广到n个事件的交事件为
?n?P??Ai??P?A1?P?A2|A1?P?A3|A1A2?...P?An|A1A2...An?1?.?i?1?(A1.1.12)
3.事件的独立性
定义A1.1.3设有事件A,B P?B|A??P?B?或
P?A|B??P?A?,
(A1.1.13)
则称事件A,B相互独立。
定理A1.1.1若A,B互相独立,则 P?AB??P?A?P?B?( A1.1.14)
定理 A1.1.2若A,B相互独立,则A与B,A与B,A与B相互独立, 时间独立性的推广:
定义A1.1.4设三事件A,B,C如果 P?AB??P?A?P?B?, P?BC??P?B?P?C?, P?AC??P?A?P?C?,
.
P?ABC??P?A?P?B?P?C?(A1.1.15)
则称A,B,C相互独立。
,
一般地,设有n个事件A1,A2,...,An,如果对于任意整数
k?1?k?n?,i1,i2,...,ik?1?i1?i2?...?n?都有等式
PAi1,Ai2,...Aik?PAi1PAi2...PAik, (A1.1.16)
则称A1,A2,...,An相互独立。 4.全概率公式和逆概率公式
定义A1.1.5设?是随机试验E的样本空间,B1,B2,...Bn是E的n个事件,如果满足?
?????????Bi?1ni??,,?对任意的i?j?1?i,j?n?,BiBj??,则称
?B1,B2,...,Bn?为?的一个划分(见图A1.1.2).
设A是E的任一事件,显然A??P?ABi?,且ABi?ABj???i?j?,则
i?1n P?A???P?ABi?.
i?1n 所以有
P?A???P?ABi?.
i?1n 如果已知P?Bi?和P?A|Bi?,则 P?ABi??P?Bi?P?A|Bi? 所以有
P?A???P?Bi?P?A|Bi? (A1.1.17)
i?1n公式(A1.1.17)叫做全概率公式。并有 P?Bi|A??P?Bi?P?A|Bi??P?B?P?A|B?iii?1n,i?1,2,...,n (A1.1.18)
式(A1.1.18)叫做逆概率公式,又叫做贝叶斯(Bayes)公式. A1.2 随机变量及其分布 A1.2.1 随机变量
定义 A1.2.1 设随机试验E的样本空间为??{e}.如果对于每一个样本点e都有一个实数X与之对应,则称X为随机变量.
简言之,随机变量就是定义在样本空间?上的样本点的实值函数X(e).随
机变量通常用大写字母X,Y,Z表示.
引入随机变量之后,对随机事件的研究变成对随机变量的研究.这就能很方便地用数学分析的方法全面深入地研究随机试验. 就取值情况而言,随机变量可分为两类:
(1)如果随机变量X的取值是有限个或无限可列多个,则称X为离散型随 机变量;
(2)如果随机变量取某个区间(有限或无限)上的所有值,则称X为连续
型随机变量.
考虑P(X?x),对于任意实数x,P(X?x)必定与x有关,由x确定,当x变化时,它显然是x的函数.
定义 A1.2.2 设X是随机变量,x是任意实数,则称函数P(X?x)为X的 分布函数,记为
F?x??P?X?x?,???x???.(?1.2.1)
分布函数F(x)是x的函数.它在任一点x?a处的值F(a)表示随机变量X落在区间???,a?上的概率.对任意实数a,b(a?b)有 P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a), 由分布函数的定义,显然有
P(a?X?b)?F(b)?F(a).(?1.2.2)
分布函数的基本性质: (1)0?F?x??1;
(2)F?????limF?x??0,F?????limF?x??1;
x???x??? (3)F?x?是x的不减函数,即对任何x1?x2,有F?x1??F?x2?; (4)F?x?是x的右连续函数,即对任一点x0,有
?)?limF(x)?F(x0). F(x0?x?x0 有了分布函数,随机变量取某值、在某个区间上取值的概率都可以用分布函数表示出来.如
P(X?a)?lim?F(x)?F(a?),
x?a P(X?a)?F(X?a)?F(X?a)?F(a)?F(a?); P(X?a)?1?P(X?a)?1?F(a),
P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)?F(b)?F(a?), P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)?F(b?)?F(a), P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)?F(b?)?F(a?). 分布函数具有良好的分析性质,用分布函数能很方便地计算出各种事件的概率.能将概率运算转化为对分布函数的运算. A1.2.2 离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量X的概率分布,就是要知道X的所有可能取值以及取每一个可能值的概率.
一般地,设X的取值为xk(k=1,2,?),X取各个可能值的概率为
P(X?xk)?pk,
k=1,2,
?
,
(?1.2.3)
由概率的定义,pk满足两个条件
pk?0,k=1,2,?;
?pk?1?k?1.
(?1.2.4)
式(A1.2.3)称为X的分布律.
X的分布律可以用表格的形式表示出来:
X
x1 x2 ? xk ?
(?1.2.5)
pk p1 p2 ? pk ?
还可以表示成下面的形式:
?x~?1 X??p1(?1.2.5)
x2...xkp2...pk...??...?.
分布律又叫做分布列,它完全描述了离散型随机变量X的取值及取值的概率
的情况,称为X的概率分布. 离散型随机变量的分布函数为
F(x)?P(X?x)??P(X?xk)xk?x.
(?1.2.6)
1. 二项分布
定义A1.2.3 设随机变量为X,若有
kk P(X?k)?Cnp(1?p)n?k, k?0,1,2,?,n,
(?1.2.7)
则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~B(n,p).
特例,当n?1时,二项分布变成
P(X?k)?pk(1?p)1?k(?1.2.8)
,k?0,1,
即
P(X?0)?1?p, P(X?1)?p. 这种分布叫做(0-1)分布.
现在考虑当n??时二项分布的极限分布,有下面很有用的泊松(Poisson)定理.
定理 A1.2.1(泊松定理) 设有常数?>0,正整数n,如果npn??,则有
limCp(1?pn)n??knknn?k??ke??k!, k=0,1,2,?,
定理中npn??(常数),意思是当n很大时,pn必定很小.从泊松定理引出一个近似式,当n很大、p很小、np??大小适当时,有
Cp(1?p)(?1.2.9)
knknn?k??ke??k!, k?0,1,2,?.
这是一个很有用的近似计算公式.当n?100,np?5时,近似效果很好. 2. 泊松分布
定义 A1.2.4 对于常数??0,如果随机变量X的分布律为 P(X?k)??ke??k!, k=0,1,2,?
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