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试验设计(陈魁)附录A(3)

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(?1.2.10)

则称X服从参数为?的泊松分布,记为X~P(?).

A1.2.3 连续型随机变量的概率分布 首先引入概率密度函数的概念.

定义A1.2.5 设F(x)是X的分布函数,如果有非负可积函数f(x),使得

F(x)??(?1.2.11)

x??f(t)dt,

则称f(x)为X的概率密度函数,简称密度函数.

密度函数f(x)满足条件 f(x)?0(?1.2.12)

??;

???f(x)dx?1

连续型随机变量具有下面的性质: (1) F(x)是x的连续函数; (2) 对任意点x,P(X?x)?0; (3) 在

f(x)的连续点,有F?(x)?f(x).

(?1.2.13)

性质(2)为计算连续型随机变量在区间上的概率带来了一定的方便.因为X取个别值时概率为0,所以

P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)

?P(a?X?b). 不必考虑X是否取a,b,上述概率值都是

bF(b)?F(a)??f(x)dxa.

(?1.2.14)

常用的连续型随机变量的概率分布: 1. 正态分布 (1) 标准正态分布 若X的密度函数为 ?(x)?x221e2??,???x???,

(?1.2.15)

则称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1).

标准正态分布的分布函数为 ?(X)??(?1.2.16)

x2??1?t2edt2?,???x???,

?(x),?(x)的图形如图A1.2.1所示.

?(x)是偶函数,它的图形关于中心轴对称,由此很容易得出 ?(?x)?1??(x)(?1.2.17)

.

人们已编制了?(x)的数值表,以供查用(见附录B附表1).

?(x) ?(x) 0.399 1.00 0.319 0.90 0.80 0.242 0.750 0.70 0.60 0.058 0.40 0.014 -3 -2 -1 -0.67 1 2 3 x 50%面积 0.20 68.3%面积 95%面积 0 0.84 99%面积 -3 -2 -1 0.25 0.67 1 2 3 x 0.52 (a) (b)

图A1.2.1 标准正态分布的密度函数和分布函数 (a)正态密度函数?(x);(b)正态分布函数?(x)

(2) 一般正态分布 若X的密度函数为

1(x??)2 f(x)?exp[?]22?2??,

???x???,

(?1.2.18)

则称X服从参数为?,?的正态分布,记为 X~N(?,?2).它的分布函数为

F(x)??x??1e2???(t??)22?2dt.

(?1.2.19)

当 ??0,??1时,正态分布就变成标准正态分布.

f(x)的图形如图?1.2.2所示.

f(x) 1.6 0.8 ??0.25 ??0.5 0.4 ??1 O ? x 图A1.2.2 不同?的正态密度曲线

f(x)的图形对称于x??,?的大小影响图形的形状,?大图形矮胖,?小

图形瘦高.

一般正态分布可以通过适当变换化成标准正态分布.若

X??,则Z~N(0,1), X~N(?,?2),Z??x??) F(x)??(. ?(?1.2.20)

2. 均匀分布

定义A1.2.6 设随机变量为X,若其密度函数为

?1,a?x?b,? f(x)??b?a

?其他,?0,(?1.2.21)

则称X在[a,b]上服从均匀分布,记作X~U(a,b).

它的分布函数为

?0,x?a,?x?a? F(x)??,?b?a??1,(?1.2.22)

x?a,,a?x?b,

x?b.它们的图形如图A1.2.3所示.

f(x) F(x)

a O b a O b (a) (b)

图 A1.2.3

(a)均匀分布的密度函数;(b)分布函数

对在[a,b]上服从均匀分布的随机变量X,若有(c,d)?(a,b),则

d?c P(c?X?d)?b?a(?1.2.23)

,

并称此式为几何概率.

3. 指数分布

定义 A1.2.6 设随机变量X的密度函数为

??e??x,x?0, f(x)???0,x?0,(?1.2.24)

??0,

则称X服从参数为?的指数分布,记为X~E(?).

它的分布函数为

F(x)=??0,x?0, -?x?1-e,x?0.(?1.2.25)

它们的图形如图A1.2.4所示.

性质:若X~E(?),对任何正数x,x0则有

P(X?x0?x|X?x0)?P(X?x)

(?1.2.26)

4. 韦布尔分布

定义 A1.2.7 设X为随机变量.若X的密度函数为

?m(x?r)mm?1],x?r?(x?r)exp[?f(x)??t0t0m?0,t0?0,r为任意实数,

?0,x?r?(?1.2.27)

f(x)F(x) 1 ?O x O x 图A1.2.4 指数分布的密度函数和分布函数

则称X服从韦布尔分布.

当m?1,r?0时,韦布尔分布成为??1t0的指数分布.

韦布尔分布在工程实践中有着广泛的应用,它是可靠性分析中最基本的分布之一.

A1.2.4 随机变量函数的分布

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