(1)X,Y不相关的充分必要条件是??0; (2)X,Y相互独立的充分必要条件是??0; (3)X,Y相互独立的充分必要条件是X,Y不相关. A1.4.4 随机变量的矩
定义A1.4.7 设随机变量X,r?0为整数,则称: (1)E[X?E(X)]r为X的r阶中心矩阵. (2)E(Xr)为X的r阶原点矩.
Y),r?0,l?0为整数,则称: 定义A1.4.8 设二维随机变量(X, (1)E[X?E(x)]r[Y?E(Y)]l为X,Y的r?l阶中心矩阵. (2)E(XrYl)为X,Y的r?l阶原点混合矩.
根据这些定义,数学期望E(X)叫做X的一阶原点矩,方差V(X)叫做X的
Y)叫做X,Y的二阶中心混合矩. 二阶中心矩,协方差cov(X, A1.5 极限定理 A1.5.1 大数定理
1.切比雪夫不等式
定理A1.5.1 设有随机变量X,E(X)??,V(X)??2,则对任一实数
??0,恒有
?2 P(X????)?2; (?1.5.1)
??2 P(X????)?1?2. (?1.5.2)
? 经常用的还有另外的形式:
1; (?1.5.3) 2k1 P(X???k?)?1?2. (?1.5.4)
k 2.切比雪夫大数定律
P(X???k?)? 定理A1.5.2 设X1,X2,?Xn,?是两两不相关的随机变量序列,
V(Xi)?C(i?1,2,?),则对任意的??0,恒有
?1n?1n limp??Xi??E(Xi)????1. ?A1.5.5?
n???ni?1?ni?1?它的等价形式为
?1n?1n limp??Xi??E(Xi)????0. ?A1.5.6?
n???ni?1?ni?1?特别地,当?Xi?为独立同分布序列时,有E?Xi?=?,故有
?1n? limp??Xi??????1. ?A1.5.7?
n????ni?1?等价形式为
?1n? limp??Xi??????0. ?A1.5.8?
n????ni?1?若记
1n X??Xi,
ni?1P则称X依概率收敛于?,记为X????。
3.伯努利大数定律
定理A1.5.3 设?n是n次独立重复试验中事件A出现的频数,在每次试验中都有?(?)?p,则对任意的??0,恒有
??? limp?n?p????0.
n????n????A1.5.9?
等价形式为
???n?p????1. limp?n????n????A1.5.10?
这是概率的统计意义的理论根据。
A1.5.2 中心极限定理
定理A1.5.4 设X1,?,Xn,?为独立同分布序列,E?Xi???,
V?Xi???,i=1,2,?,则
2?n?X?n???i?1i?1 limp??x??n???n?2???????2??2edt???x?. ????u?vx?t2?A1.5.11?
定理A1.5.5(棣莫弗—拉普拉斯) 对n重伯努利试验,记?n是事件A发生的频数,?n?B?n,p?,令Zn区间,则
limp?a?Zn?b???b??n?npnpq?x2 (p?q?1)。设?a,b?为任意
n???a1e2?2dx??(b)??(a).
?A1.5.12?
这个定理的成立是明显的,因为由前一个定理,应当有 limp?Zn?x????x?.
n??? 前面两个定理,都要求X1,X2,?Xn同分布,那是特殊的情况,一般情况下,X1,X2,?Xn分布不同。这时有一般的中心极限定理。 定理A1.5.6 设
2X,X12,?Xn为独立的随机变量序列,E?Xi?=?i,
22,?;(2)?i,V?Xi?=?i,如果(1)存在正数M,使得maxXi?M, i=1, 即每个Xi都有有限方差。则
n?n?2??Xi???i?tx1?2i?1?x???edt??(x). limp?i?1n??n?????2?2????i??i?1???A1.5.13?
从这个定理知道,不管Xi服从什么分布,也不管各个Xi的分布有什么不
????X同,只要满足定理的条件,当n???时,Z???in2ii 的极限分布
就是标准正态分布N?0,1?.当n充分大时,
Zn近似服从标准正态分布
N?0,1?。这就说明:大量起微小作用的相互独立的随机变量之和的概率分布近似于正态分布。
实践的经验表明,分布常常是近似正态的,中心极限定理对这个事实提供了很好的理 论解释。
A2 数理统计基础—参数估计与假设检验
A2.1 数理统计的基本概念
A2.1.1 总体和样本
1.总体和个体
研究对象的全体称为总体,用X表示。组成总体的每个单元称为个体,用
Xi表示。
2.样本与样本值
样本:在总体?中抽取n个个体X1,X2,?Xn,这n个个体称为总体?的容量为n的样本,它构成一个n维随机变量。
样本值:对一次具体的抽取得到n个数值x1,x2,?,xn,这一组具体的数值叫做样本
值或叫做样本的观察值。
简单随机样本:样本的选取若满足
(1)每个个体Xi(i=1, 2,?,n)都与总体?同分布; (2)各个体之间相互独立。 这样的样本称为简单随机样本。
设总体X的分布函数为F?x?,概率密度函数为f(x),样本的联合分布函数为
F(x,x,?,x),联合概率密度函数为f(x,x,?,x),对简单随机样本,
?11n?11n
有下面的性质:
F(x1,x2,?,xn)?F(x1)F(x2)?F(xn)??F(xi)
i?1?n?A2.1.1?
f(x,x1?2,?,xn)?f(x1)f(x2)?f(xn)??f(xi)
i?1n?A2.1.2?
3.样本分布函数(经验分布函数) 将n个样本值按大小排成x(1)?x(2)???于x的样本值出现的频率,则
x(n)的顺序,记下Fn(x)为不大
?0,?k? Fn(x)??,?n??1,x?x(1),x(k)?x?x(k?1), x?x(n),?A2.1.3?
称Fn(x)为样本分布函数,它等于在n次独立重复试验中,事件?X?x?出现的频率。
定理 A2.1.1(格列汶科) 设总体分布函数为F?x?,样本分布函数为
Fn(x),则
p(limsupn???Fn(x)?F(x)?0)?1.
?A2.1.4?
即当n???时,Fn(x)依概率1关于x均匀收敛于F?x?。它表明,当n很大时,可以用Fn(x)近似代替F?x?,即
F(x)?Fn(x)
?A2.1.5?
4.样本的数字特征
样本均值
1n X??Xi.
ni?1
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