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试验设计(陈魁)附录A(4)

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定理A1.2.2 设随机变量X有fx(x),x?(a,b),Y?g(X),y?g(x)在(a,b)上 单调、可导,且g?(x)?0,则对Y有

?fX(g?1(y))|(g?1(y)y)?|,y?(?,?),fY(y)??0,其他,?(?1.2.28)

其中?=min{g(a),g(b)},?=max{g(a),g(b)}.

A1.3 多维随机变量及其分布

A1.3.1 二维随机变量的联合分布

设随机试验?,样本空间??{e}.X(e),Y(e)是定义在?上的两个随机变量,它们构成随机变量向量(X,Y),叫做二维随机变量.

首先把它作为一个整体,研究它的概率分布. 1.二维随机变量的联合分布函数

定义A1.3.1 设有二维随机变量(X,Y),对任意实数x,y,二元函数

?P(X?x,?Y )y F(x,y)

(?1.3.1)

称为(X,Y)的联合分布函数,简称分布函数. 分布函数的性质: (1)0?F(x,y)?1.

(2)F(x,y)对x,y分别是单调非降的.即对任意y,若x1?x2,则F(x1,y)?F(x2,y);对任意x,y1?y2时,F(x,y1)?F(x,y2).

(3)对任意的x,y,F(x,??)?0,F(??,y)?0,F(??,??)?0,F(??,??)?1. (4)对任意的x(或y),Fxy(,)右连续 (5)对任意的x1?x2,y1?y2,概率P(x1?X?x2,y1?Y?y2)为 F(x)F(1x,y2,y2?2?)F(2x,1?y)F1(x?,y)1

0.2.离散型随机变量的概率分布

若随机变量(X,Y)的所有取值为有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为离散型随机变量.

定义A1.3.2 设(X,Y)的所有可能的取值为(xi,yj),i?1,2,…,j?1,2,…,称

P(X?xi,Y?yj)?pij,i,j?1,2,…(?1.3.2)

为(X,Y)的联合分布率,它显然满足条件 pij?0和(?1.3.3)

??pjiij?1 .

(X,Y)的联合分布函数为

F(xy,)?=(?1.3.4)

yi?yxi?x?pij

3.连续型随机变量的概率分布 若随机变量(X,Y)在某个平面区域(有限或无限)内取所有的值,则称(X,Y)为连续型随机变量

定义A1.3.3 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果有非负函数

f(x,y),对任意实数x,y,都有

xyF(x,y)???????f(u,v)dvdu,

(?1.3.5)

则称f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数,简称密度函数. 密度函数f(x,y)满足条件

f(x,y)(?1.3.6)

??????????f(x,y)dydx?1.

性质:

(1)F(x,y)是二元连续函数

(2)在f(x,y)的连续点(x,y),有

?2F(x,y) ?f(x,y).

?x?y(?1.3.7)

(3)若D是xOy平面上的闭区域,则随机点落在D内的概率为 P((X,Y?)D?)??D d f(x,?y)(?1.3.8)

这个数值是以曲面z?f(x,y)为顶面,在域D上的曲顶柱体体积. 两个常用的分布: (1)均匀分布

定义A1.3.4 设D为闭域,其面积为S,若密度函数为

1,x(y,?D),?S f(x,y)??0,其他,

?(?1.3.9)

则称(X,Y)在D上服从均匀分布.

对在D上服从均匀分布的二维连续型随机变量(X,Y),若有事件A的事件域D1?D,则

P(A)=(?1.3.10)

D1的面积S1,

D的面积S(?1.3.10)并称式为几何概率. (2)二维正态分布

定义A1.3.5设二维随机变量(X,Y),若密度函数为

f(x,y)?(?1.3.11)

12??1?21??2e??,

其中,

???x??12(x??1)(y??2)y??22?1()?2??()?, 2?2(1??)??1?1?2?2?则称(X,Y)服从正态分布,其中?1,?2,?1,?2,?为参数,且??1,记为

2 (X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?). 特殊情况下,?1??2?0,?1??2?1,此时 f(x,y)?(?1.3.12)

?122?exp??(x?2?xy?y)?, 222?1???2(1??)?1更特殊地,当??0时

(x2?y2)1?12e. f(x,y)?2?(?1.3.13)

并称(X,Y)服从标准正态分布,记为(X,Y)~N(0,0,1,1,0). A1.3.2 二维随机变量的边缘分布

这里要研究的是二维随机变量分别关于X,关于Y的分布. 1.边缘分布函数

定义A1.3.6 设F(x,y)?P(X?x,Y?y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.则称limF(x,y)?F(x,??)?P(X?x,Y???)为(X,Y)关于X的边缘分

y???布函数,记为

FX(x)?F(x,??)?P(X?x).

(?1.3.14)

称limF(x,y)?F(??,y)为(X,Y)关于Y的边缘分布函数,记为

x??? FY(y)?F(??,y)?P(Y?y).

(?1.3.15)

2.离散型随机变量的边缘分布 设(X,Y)的联合分布律为 P(X?ix,Y?jy)?联合分布函数为

F(x,y)??xi?xijp,,i?j1…,,2 ,yj?y?pij ,则边缘分布函数为

FX(x)?F(x,??)??xi?x?p,ijj?1?

(?1.3.16)

FY(y)?F(??,y)??(?1.3.17)

yi?y?p;iji?1?

边缘分布律为

P(X?xi)??pij?pi?,i?1,2,…,j?1?

(?1.3.18)

P(Y?yj)??pij?p?j,j?1,2,…,i?1?

(?1.3.19)

分别称为关于X,Y的边缘分布律.其中pi?表示对特定的i,关于j的全体求和,\?\表示求和;p?j表示对特定的j,关于的全体求和. 3.连续型随机变量的边缘分布

已知连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)和联合密度函数f(x,y)满足

xy????) F(x,y)???fu(v,dvdu(?1.3.5)

则边缘分布函数为

x??FX(x)?F(x,??)???????f(u,v)dvdu,

(?1.3.20)

y??FY(y)?F(??,y)???????f(u,v)dvdu;

(?1.3.21)

边缘密度函数为

d y fX(x)???? ??f(x,y)

(?1.3.22)

d x fY(y)???? ??f(x,y) (?1.3.23)

4.二维随机变量的独立性

定义A1.3.7设二维随机变量(X,Y),如果对任意的x,y都满足 P(X?x ,Y?)y?P(X?)x(P?Y )y (?1.3.24)

则称X,Y相互独立.

若X,Y相互独立,则由式?1.3.24可得出

bc?Y?)d?(P?aX?)b(P?c ? Y) P(a?X?, d

(?1.3.25)

设F(x,y)为分布函数,FX(x),FY(y)为边缘分布函数,由式(?1.3.24)立刻得到,X,Y相互独立的充要条件是

F(x,y) ?FXx(FY)y( )(?1.3.26)

对离散型随机变量,设pij是联合分布律,pi?,p?j是边缘分布律,X,Y相互独立的充要条件是对所有的i,j,有 pij?p?i?p,j,i?j1,…2., (?1.3.27) 在独立的情况下,有边缘分布律能惟一的确定出联合分布律.

对连续型随机变量,若联合密度函数为f(x,y),边缘密度函数为fX(x),fY(y),则X,Y相互独立的充要条件是 f(x,y) ?fXx(fY)y( )(?1.3.28)

在X,Y相互独立的情况下,有边缘密度函数能惟一地确定联合密度函数.

2对二维正态分布(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?),当??0时,有fX(x)fYy(?)fxy(,,X,Y相互独立;反之,若X,Y相互独立,即

??0.所以,X,Y相互独立的充要条件是??0. f(x,y)?fXx(fY)y(,必有)A1.3.3 多维随机变量简述

设随机试验E的样本空间??{e},X1?X1(e),X2?X2(e),…,Xn?Xn(e)是定义在?上的n个随机变量.由它们构成的n维向量(X1,X2,…,Xn)叫做n维随机变量.

对任何实数x1,x2,…,xn,n元函数 F(x,nx?)1,x2…(?1.3.29)

P(1X?1x,2?X…,2xn ) ,?Xn x称为n维随机变量的分布函数.

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