试验设计(陈魁)附录A

附录A 概率论与数理统计基础知识

A1 概率论基础

A1.1随机事件及其概率

世界上有各种各样的现象，从概率的观点考虑可分为两类：一类叫做确定性现象，它指的是在一定条件下必然发生或必然不发生的现象：另一类叫做随机现象，它指的是在一定条件下可能发生，也可能不发生的现象。概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。

A1.1.1 随机事件

随机事件是概率论研究的对象，它是随机试验中出现的结果。 1.随机试验（E）

具有以下几个特点的试验叫做随机试验 （1）试验具有相同目的； （2）在相同条件下重复进行；

（3）试验的结果不止一个所有结果实现都能明确地指出来； （4）每次试验之前，预料不出会出现什么结果. 2.随机事件

在随机试验中，每一个可能出现的结果，叫做随机事件。随机事件的用大写字母A,B,C等表示。

随机事件分为以下几类。 基本事件：最简单的不能再分的耽搁时间叫做基本事件。例如随机试验E1:投掷一只筛子，观察朝上一面的点数；这里，在E1中，“点数为2”...“点数为6”，都是基本事件。

复合事件：有两个或两个以上的基本事件组成的事件叫做复合事件。例如，在E1中“点数小于4”，“点数为偶数”，都是复合事件。

还有两种事件：在随机试验中必然出现的结果叫做必然事件：在随机试验中，绝不会出现的结果叫做不可能事件。这两种事件不是随机事件，但是，为了研究问题方便，把它们归入随机事件，作为随机事件的两个极端情况 3.样本空间

样本空间是概率论中的重要概念。在随机试验E中,,每一个基本事件成为一个样本点，样本点的全体称为样本空间，记做Ω，它是全体样本点的集合。每个样本点都是这个集合中的元素。例如，在E1中，样本空间?1?? 1,2,3,4,5,6?。

每个随机事件都是样本点的集合，是样本空间的一个子集。样本空间也是事件，并且是必然事件。

样本空间有以下三种类型：

（1）有限集合：样本空间中的样本点数是有限的；

（2）无线可列集合：样本空间中样本点数是无限可列的;

（3）无线不可列集合：样本空间中样本点数是无限且不可列的。 4.事件之间的关系和运算

事件之间的关系（见图A1.1.1）

(1)包含关系：设有事件A,B,若由B发生必然导致A发生，则称A包含B,或B包含于A，记做A?B,任何时间都包含于?。

(2)相等关系：若A?B,同时B?A,则称A与B是相等事件，记做A=B. (3)事件的并（和）：设有事件A，B,C,若A,B至少一个发生时C就发生，则称C是A,B的并（和）事件，记做C=A?B n n个事件的并(和)事件为A1?A2?...?An，记做?Ai，无穷可列个事件

i?1的并事件记为cC?A?B或AB。

(4)事件的交（积）：若A,B同时发生时C才发生,则称C为A,B的交（积）事件，记为C?A?B或AB.

n个事件的交事件记为 ?Ai ，无穷个可列事件的交事件记为 ?Ai.

i?1i?1n? (5)互不相容（互斥）事件：若A,B不能同时发生，即AB??，则称A,B为互斥事件。任何两个不同的基本事件为互斥事件。

(6)对立事件：对事件A,B若A?B??,AB??,则称A,B为对立事件，

______记为A?B,B?A

___. (7)事件的差：事件A与B的交成为A与B的差，记为A?B?A?AB?AB 事件的运算

（1）交换律：A?B?B?A,AB?BA;

（2）结合律：?A?B??C?A??B?C??A?B?C, ?AB?C?A?BC??ABC; (3)分配率： ?A?B?C?AC?BC,

?AB??C??A?C??B?C?.

?? ? B A B A B A A?B A?B A?B

? ? ? A A A A-BA B B

AB??

A?B A AB??

（4）德摩根（De Morgan）定律： A?B?AB,AB?A?B.

A??A,?A??A.? 推广：

iiiii?1i?1i?1i?1nnnn 在随机试验中，随机事件是否发生是很重要的，但更重要的是事件发生的可能性的大小，它是随机事件的客观属性，是可以度量的。一般地，对

于随机事件A，如果有一个数能表示该事件发生的可能性的大小，这个数就叫做事件A的概率，记为P(A).简言之，事件的概率就是事件发生的可能性大小的数量描述。下面从三方面说明概率的意义。 1.古典概型

在概率论发展的早期，曾把具有下面两个简单性质的随机现象作为主要的研究对象。

(1) 试验的样本空间有有限个样本构成，即 ???e1,e2,e3,...,en?，称为有限性；

(2)每个样本点（基本事件）出现的可能性相等，即

1 P(e1)=P(e2)=...=P(en)=,

n称为等可能性。

一般把具有这两个特点的随机试验的数学模型称为古典概型。在古典概型中，对随机试验E，若样本空间的样本点总数为n,事件A所包含的样本点数为m,则事件A的概率为

m P(A)?

n（A1.1.1）

这是古典概型概率的定义，同时也是计算公式。

2.概率的统计意义

设在随机试验E中进行n次重复试验，若事件A出现nA次，则比值nAfn?A??n 称为事件A出现的频率。 频率的一般性质：

(1) 0?fn?A??1; (2) fn????1;

(3)若事件A,B互不相容，则fn?A?B??fn?A??fn?B?.

?k?kfn??Ai???fn?Ai?.性质（3）可以推广。若A1,A2,?,Ak两两互斥，则?i?1?i?1

在随机试验中，当试验次数n逐渐增大时，频率值 会趋于稳定。即在某个数p附近波动，这时称数p为事件A的概率，记做P(A)=p。这就是概率的统计意义。数p是客观存在的，如果不容易分析出来的话，可以用n很大时

p?fn?A?.

用频率近似代替概率的好处是便于实际应用，不必考虑是否具有等可能性。它的缺点是要做大量的试验，费工费时。

2.概率公理化的定义

定义A1.1.1 设随机试验E，样本空间为?，对于E中的事件A，赋予一个实数P(A),如果满足： （1）0?P(A)?1; (2) P????1;

(3)对任何两两互斥的事件Ai?i?1,2,??有

????P??Ai???P?Ai?. ?i?1?i?1 (A1.1.4)

则称P(A)为事件A的概率。

这个定义是前苏联数学家A.H.柯尔莫哥洛夫在1933年提出的。 概率的性质：

（1） 对任何事件A，0?P(A)?1; （2） P????1;P????0;

（3） 若事件A1,A2,A3,?Am两两互不相容，则

P(?Ai)??P(Ai);i?1i?1mm (A1.1.4)

(4) 对A和A，有P(A)?P(A)?1,因此有

P?A??1?P(A)(A1.1.5) (5)若A?B,则

P?A?B??P?A??P?B?或

P(A)?1?P?A?.

,

(A1.1.6)

并且有P?A??P?B?.

(6)一般P?A?B??P?A?AB??P?A??P?AB?，即

P?AB??P?A??P?AB? (A1.1.7)

(7)加法定理：对任何事件A，B有 P?A?B??P?A??P?B??P?AB?(A1.1.8)

加法定理的推广： n个事件的并事件的概率为

P?n???A?ni???P?Ai???P?AiAj???P?AiAjAk??...?(?1)n?1P?A1A2...An?.

i?1?i?ji?ji?j?k

(A1.1.9)

A1.1.3A条件概率 1.概念

定义A1.1.2设两事件A，B且P?A??0，称 P?B|A??P?AB?P?A?

(A1.1.10)

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

条件概率与概率有相同的性质： (1)对任一事件B，有P?B|A??0;

(2)P??|A??1;

(3)若B1,B2,...是两两不相容的事件，则有

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