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试验设计(陈魁)附录A(5)

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Fxi(xi)?P(Xi?xi)?F(??,??,…,xi,??,…,??)

(?1.3.30)

称为关于Xi(i?1,2,…,n)的边缘分布函数. 若对所有x1,x2,…,xn,都有

P(X1?x1,X2?x2,…,Xn?xn)?P(X1?x1)P(X2?x2)…P(Xn?xn) (?1.3.31) 则称X1,X2,…,Xn是相互独立的.

由式(?1.3.31)得到,X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是 F(x1,x2,…,xn)?FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn)

(?1.3.32)

对离散型随机变量,X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是

P(X1?x1,X2?x2,…,Xn?xn)?P(X1?x1)P(X2?x2)…P(Xn?xn) (?1.3.33) 对连续型随机变量,X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是

f(x1,x2,…,xn)?fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)(?1.3.34)

A1.3.4 二维随机变量和的分布 1.离散型随机变量

已知(X,Y)的联合分布律P(X?xi,Y?yj)?pij,i,j?0,1,2,…,Z?X?Y,若X,Y相互独立,则Z的分布律为 P(Z?kz)??P(X?i?0zkix)P(?Yk?zi , 2 , )x,?k0…,1(?1.3.35)

或另一种表达形式

P(Z?zk)??P(X?zk?yj)P(Y?yj),k?0,1,2,…j?0zk

(?1.3.36)

式(?1.3.37)和(?1.3.38)称为离散型随机变量的卷积公式. 2.连续型随机变量

已知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),Z?X?Y,若X,Y相互独立,则Z的密度函数为

(z fZ(z)??????fX(x)Yf?x)dx,

(?1.3.37)

或另一种表达形式

fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy.(?1.3.38)

式(?1.3.37)和(?1.3.38)称为连续型随机变量的卷积公式,记为 fZ?fX?f.Y

(?1.3.39)

2若(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,0),Z?X?Y则有

2Z~N(?1??2,?12??2)

(?1.3.40)

推广:若Xi~N(?i,?),Xi与Xj相互独立,且Y??aiXi?b,则

2ii?1n??Y~N(?,?2),其中 ?n n??(?ai?i)?b,?2??ai2?i2.?i?1?i?1(?1.3.41)

由此得出,相互独立的正态分布的随机变量之和仍服从正态分布.

A1.4 随机变量的数学特征

A1.4.1 数学期望

1.一般概念

定义A1.4.1 设离散型随机变量的分布律为

P(X?xk)?pk,k?1,…2n, ,则和式?xkpk的值称为X的数学期望,记为

k?1n E(x)??xk?1nkpk.

(?1.4.1)

定义A1. 4. 2 设离散型随机变量X的分布律为

P(X?xk)?pk,k?1,2,?. 如果级数?xkpk绝对收敛,则称此级数的和为X的数学期望,记为

k?1?

E(x)??xkpk (?1.4.2)

k?1? 定义A1. 4. 3 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若广义积分

?????xf(x)dx绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,记为

E(x)? 2. 常见分布的数学期望

?????xf(x)dx. (?1.4.3)

kkn?k(n,p),pk=Cn (1)二项分布:X~Bpq,k?0,1,2,?,n,

E(X)?np. (?1.4.4)

当n?1时,二项分布变成(0-1)分布,此时

E(X)?p.

(?)(?1.4.5) (2)泊松分布:X~P,pk??ke??k!,k?0 ,1,2,?,

E(X)??.

(?1.4.6)

b), (3)均匀分布:X~U(a,?1,x?[a,b],? f(x)??b?a

??0,其他. E(X)??bax1dx?(a?b). b?a2(?1.4.7) (4)指数分布:X~E(?),

??e??x,x?0, f(x)?? ?>0.

?0,x?0, E(X)??(?1.4.8)

????x?e??xdx?1?.

(5)正态分布:X~N(?,?2),

?1 f(x)=e2??(x??2)2?2,???x???.

E(X)??.

(?1.4.9) 3.二维随机变量的数学期望

Y)的期望就是分别的X,Y的期望E(X),E(Y). 二维随机变量(X, 对离散型随机变量,设联合分布律为pij,则有

E(X)??xiP(X?xi)???xipij, (?1.4.10)

iij E(Y)??yjP(Y?yj)???yjpij. (?1.4.11)

jjiy),则有 对连续型随机变量,设联合密度函数为f(x, E(x)??(?1.4.12)

????xf(x)dx???????????xf(x,y)dydx,

E(Y)??(?1.4.15)

????yfY(y)dy???????????yf(x,y)dxdy

4.随机变量的函数的期望

定理(A1.4.1) 设有随机变量X的连续函数Y?g(X).

(1)对离散型随机变量X,分布律为P(X?xk)?pk,如果级数?g(xk)pkk?1?绝对收敛,则

E(Y)?E(g(X))??g(xk)pk.

k?1?(?1.4.16)

(2)对连续型随机变量X,密度函数为f(x),如果

?????g(x)f(x)dx绝对收

敛,则

E(Y)?E(g(X))??(?1.4.17)

????g(x)f(x)dx.

Y)的连续函数Z?g(X,Y). 定理(1.4.2) 设二维随机变量(X,Y),联合分布律为P(X?xi,(1)对离散型随机变量(X,Y?yj)?pij,如

果级数??g(xi,yj)pij绝对收敛,则

ji?? E(Z)?E(g(X,Y))???g(xi,yj)pij.

ji??(?1.4.18)

Y),有密度函数f(x,y),如果广义积分 (2)对连续型随机变量(X, ?绝对收敛,则

?????????g(x,y)f(x,y)dydx

E(Z)?E(g(X,Y))??(?1.4.19)

?????????g(x,y)f(x,y)dydx.

例如:设X~N(?,?2),Y?X2,则经过计算有

E(Y)?E(X2)??2??2.

(?1.4.20)

5.数学期望的性质

(1)若C为常数,则

E(C)?C.

(?1.4.21)

(2)设X为随机变量,E(X)存在,C为常数,则

E(CX)?CE(X).

(?1.4.22)

(3)设X,Y为随机变量,E(X),E(Y)都存在,则

E(X?Y)?E(X)?E(Y).

(?1.4.23)

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