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试验设计(陈魁)附录A(6)

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推广:若E(Xi)存在,i?1,2,?,n,则

E(?Xi)??E(Xi).

i?1i?1nn(?1.4.24)

(4)设X,Y为相互独立的随机变量,E(X),E(Y)都存在,则

E(XY)?E(X)E(Y).

(?1.4.25)

Y)??(X)h(Y),E[?(X)],E[h(Y)]存在,且X,Y相 推广:? 若g(X,互独立,则

Y)]?E[?(X)]E[h(Y)]. E[g(X,(?1.4.26)

? 设n个相互独立的随机变量Xi,E(Xi)存在,则

E(?Xi)??E(Xi).

i?1i?1nn(?1.4.27)

A1.4.2 方差

1.方差的定义及性质

定义A1.4.4 设随机变量X,若数学期望E[X?E(X)]2存在,则称此期望值为X的方差,记为

V(X)?E[X?E(X)]2.

(?1.4.28)

由此看出,方差就是函数(X?E(X))2的数学期望. 对离散型随机变量X,有

V(X)??(xk?E(X))2P(X?xk).

k?1?(?1.4.29)

对连续型随机变量X,有

V(X)??(x?E(X))2f(x)dx.

????(?1.4.30)

方差的实用计算公式为

V(X)?E(X2)?E2(X).

(?1.4.31)

因为V(X)?0,故有

E(X2)?E2(X).

(?1.4.32)

方差的性质:

(1)若C为常数,则V(C)?0.

(?1.4.33)

(2)若a,b为常数,则

V(aX?b)?a2V(X).

(?1.4.34)

(3)如果X1,X2相互独立,则

V(X1?X2)?V(X1)?V(X2).

(?1.4.35)

推论:若X1,X2,?,Xn相互独立,则

V(?Xi)??V(Xi).

i?1i?1nn(?1.4.36)

2.常见分布的方差

p), (1)二项分布:X~B(n, V(X)?np(1?p).

(?1.4.37)

对(0-1)分布

V(X)?p(1?p).

(?1.4.38)

(2)泊松分布:X~P(?),

V(X)??

(?1.4.39)

(3)均匀分布:X~U(a,b), V(X)?112(b?a)2. (?1.4.40)

(4)指数分布:X~E(?), V(X)?1?2.

(?1.4.41)

(5)正态分布:X~N(?,?2),

V(X)??2.

(?1.4.42)

A1.4.3 二维随机变量的方差、协方差和相关系数 1.二维随机变量的方差

二维随机变量(X,Y)的方差就是分别的X,Y的方差V(X), 对离散型随机变量,设联合分布律为pij,则有

V(X)??(xi?E(X))2pi????(xi?E(X))2pij,

iij(?1.4.43)

V(Y)??(yi?E(Y))2p?j???(yj?E(Y))2pij.

jji(?1.4.44)

V(Y).

y),则有 对连续型随机变量,设联合密度函数为f(x, V(X)??(x?E(X))2fx(x)dx

???? ???????????(x?E(X))2f(x,y)dydx, (?1.4.45)

V(Y)??(y?E(Y))2fY(y)dy

???? ??+?-??+?-?(y?E(Y))2f(x,y)dxdy.

(?1.4.46)

经常采用的计算公式任然是

V(X)?E(X2)?E2(X),V(Y)?E(Y2)?E2(Y).

(?1.4.47)

2.二维随机变量的协方差

协方差是描述二维随机变量中,X与Y之间的相互关系的一个数字特征.

Y),数学期望E(X),E(Y)存在,如果 定义 A1.4.5 设二维随机变量(X,E[(X?E(X)(Y?E(Y))]存在,则称此期望值为X,Y的协方差,记为cov(X,Y),即

cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))].

(?1.4.48)

由定义很容易得出协方差的计算公式:

Y)?E(XY)?E(X)E(Y). cov(X,(?1.4.49)

协方差的性质:

Y)?cov(Y,X). (1)cov(X,(?1.4.50)

(2)若a,b为常数,则

bY)?abcov(X,Y). cov(aX,(?1.4.51)

(3)cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y).

(?1.4.52)

由协方差的定义很容易得到下面的定理.

Y)?0. 定理A1.4.3 若X,Y相互独立,则cov(X, 定理A1.4.4 若V(X),V(Y)存在,则

Y). V(X?Y)?V(X)?V(Y)?2cov(X,(?1.4.53)

3.相关系数

Y)有期望E(X),E(Y)和非零方差 定义A1.4.6 设二维随机变量(X,V(X),V(Y),则量cov(X,Y)称为X与Y的相关系数,记为?XY,即

V(X)?V(Y)cov(X,Y).

V(X)?V(Y) ?XY?(?1.4.54)

相关系数的一个重要性质是

?XY?1.

(?1.4.55)

(1)?XY?0,称X,Y不相关, (2)?XY?1,称X,Y完全线性相关,

?XY描述的相关性就是X,Y的线性相关性.当0??XY?1时,其数值大小表示现行相关的程度.?XY?0称为正相关,?XY?0称为负相关. 例如,对二维正态分布N(?1,?2,?12,?22,?),E(X)??1,E(Y)??2,

2. V(X)??12,V(Y)??2 cov(X,Y)???1?2,?XY??. 在二维正态分布中:

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