推广:若E(Xi)存在,i?1,2,?,n,则
E(?Xi)??E(Xi).
i?1i?1nn(?1.4.24)
(4)设X,Y为相互独立的随机变量,E(X),E(Y)都存在,则
E(XY)?E(X)E(Y).
(?1.4.25)
Y)??(X)h(Y),E[?(X)],E[h(Y)]存在,且X,Y相 推广:? 若g(X,互独立,则
Y)]?E[?(X)]E[h(Y)]. E[g(X,(?1.4.26)
? 设n个相互独立的随机变量Xi,E(Xi)存在,则
E(?Xi)??E(Xi).
i?1i?1nn(?1.4.27)
A1.4.2 方差
1.方差的定义及性质
定义A1.4.4 设随机变量X,若数学期望E[X?E(X)]2存在,则称此期望值为X的方差,记为
V(X)?E[X?E(X)]2.
(?1.4.28)
由此看出,方差就是函数(X?E(X))2的数学期望. 对离散型随机变量X,有
V(X)??(xk?E(X))2P(X?xk).
k?1?(?1.4.29)
对连续型随机变量X,有
V(X)??(x?E(X))2f(x)dx.
????(?1.4.30)
方差的实用计算公式为
V(X)?E(X2)?E2(X).
(?1.4.31)
因为V(X)?0,故有
E(X2)?E2(X).
(?1.4.32)
方差的性质:
(1)若C为常数,则V(C)?0.
(?1.4.33)
(2)若a,b为常数,则
V(aX?b)?a2V(X).
(?1.4.34)
(3)如果X1,X2相互独立,则
V(X1?X2)?V(X1)?V(X2).
(?1.4.35)
推论:若X1,X2,?,Xn相互独立,则
V(?Xi)??V(Xi).
i?1i?1nn(?1.4.36)
2.常见分布的方差
p), (1)二项分布:X~B(n, V(X)?np(1?p).
(?1.4.37)
对(0-1)分布
V(X)?p(1?p).
(?1.4.38)
(2)泊松分布:X~P(?),
V(X)??
(?1.4.39)
(3)均匀分布:X~U(a,b), V(X)?112(b?a)2. (?1.4.40)
(4)指数分布:X~E(?), V(X)?1?2.
(?1.4.41)
(5)正态分布:X~N(?,?2),
V(X)??2.
(?1.4.42)
A1.4.3 二维随机变量的方差、协方差和相关系数 1.二维随机变量的方差
二维随机变量(X,Y)的方差就是分别的X,Y的方差V(X), 对离散型随机变量,设联合分布律为pij,则有
V(X)??(xi?E(X))2pi????(xi?E(X))2pij,
iij(?1.4.43)
V(Y)??(yi?E(Y))2p?j???(yj?E(Y))2pij.
jji(?1.4.44)
V(Y).
y),则有 对连续型随机变量,设联合密度函数为f(x, V(X)??(x?E(X))2fx(x)dx
???? ???????????(x?E(X))2f(x,y)dydx, (?1.4.45)
V(Y)??(y?E(Y))2fY(y)dy
???? ??+?-??+?-?(y?E(Y))2f(x,y)dxdy.
(?1.4.46)
经常采用的计算公式任然是
V(X)?E(X2)?E2(X),V(Y)?E(Y2)?E2(Y).
(?1.4.47)
2.二维随机变量的协方差
协方差是描述二维随机变量中,X与Y之间的相互关系的一个数字特征.
Y),数学期望E(X),E(Y)存在,如果 定义 A1.4.5 设二维随机变量(X,E[(X?E(X)(Y?E(Y))]存在,则称此期望值为X,Y的协方差,记为cov(X,Y),即
cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))].
(?1.4.48)
由定义很容易得出协方差的计算公式:
Y)?E(XY)?E(X)E(Y). cov(X,(?1.4.49)
协方差的性质:
Y)?cov(Y,X). (1)cov(X,(?1.4.50)
(2)若a,b为常数,则
bY)?abcov(X,Y). cov(aX,(?1.4.51)
(3)cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y).
(?1.4.52)
由协方差的定义很容易得到下面的定理.
Y)?0. 定理A1.4.3 若X,Y相互独立,则cov(X, 定理A1.4.4 若V(X),V(Y)存在,则
Y). V(X?Y)?V(X)?V(Y)?2cov(X,(?1.4.53)
3.相关系数
Y)有期望E(X),E(Y)和非零方差 定义A1.4.6 设二维随机变量(X,V(X),V(Y),则量cov(X,Y)称为X与Y的相关系数,记为?XY,即
V(X)?V(Y)cov(X,Y).
V(X)?V(Y) ?XY?(?1.4.54)
相关系数的一个重要性质是
?XY?1.
(?1.4.55)
(1)?XY?0,称X,Y不相关, (2)?XY?1,称X,Y完全线性相关,
?XY描述的相关性就是X,Y的线性相关性.当0??XY?1时,其数值大小表示现行相关的程度.?XY?0称为正相关,?XY?0称为负相关. 例如,对二维正态分布N(?1,?2,?12,?22,?),E(X)??1,E(Y)??2,
2. V(X)??12,V(Y)??2 cov(X,Y)???1?2,?XY??. 在二维正态分布中:
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