初等数学模型 - 图文(9)

若干名额，如何分配才算合理？

这个问题看似简单，其实不尽然。如果方法不当，将会引出很不合理甚至是谬误。以下我们举个例子说明之，并提出我们认为比较合理的分配方法。

例4-1 设某校有3个系有200名学生，其中甲系100名，乙

系60名，丙系40名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别占有10，6，4个席位。

现情况有所变化，丙系有6名学生转系，其中3人转入甲系，3人转入乙系。这时若仍按比例分配席位出现了小数如下表9，在将取得整数的19席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所谓贯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别是10，6，4席。

这种分配方法真的合理吗？再看下面的情况，因为20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加一席。他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表9，6、7列。显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席位增加一席，而丙系却由4席减为3席。

系 别 学生数 甲 乙 丙

103 63 34 21个席位的分配 学生人数 的比例（％） 比例分参照贯比例分参照贯配的席例的结配的席例的结位 果 位 果 51.5 10.3 10 10.815 11 31.5 6.3 6 6.615 7 17.0 3.4 4 3.570 3 36

表 9 20个席位的分配 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 要解决这个问题必须舍弃所谓贯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。

一. 建立数量指标

先讨论A、B两方公平分配席位的情况。设两方人数分别为P1和

P2，占有席位分别是n1和n2，则两方每个席位代表的人数分别为

p1/n1和p2/n2。显然仅当p1/n1= p2/n2时席位的分配才是公平

的。但是因为人数和席位都是整数，所以通常p1/n1≠p2/n2，这时席位分配不公平，并且p1/n1、p2/n2数值较大的一方吃亏，或者说对这一方不公平。

不妨假设p1/n1＞ p2/n2，不公平程度可用数值p1/n1－

p2/n2衡量。如设p1?120,p2?100,n1?n2?10，则p1/n1－

p2/n2=12－10=2，它衡量的是不公平的绝对程度，常常无法区分两

种程度明显不同的不公平情况。例如以上述双方人数增加为

p1?1020p,2?100而0,n、n不变时，p1/n1－ p2/n2=102－12100=2，即绝对不公平程度不变。但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。

为了改进上述绝对标准，自然想利用相对标准。仍记P2为1 、PA、B两方的固定人数，n1、n2为两方分配的席位（可变），若p1/n1＞ p2/n2，则定义

p1/n1?p2/n2rA?n1,n2??p2/n2 ????（1）

37

为对A的相对不公平值。若p1/n1＜ p2/n2，则定义

p2/n2?p1/n1 rB?n1,n2?? ????（2）

p1/n1为对B的相对不公平值。

建立了衡量分配不公平程度的数量指标rA、rB后，制定席位分配方案的原则是使它们尽可能的小。

二. 确定分配方案

假设A、B两方已分别占有n1和n2席，利用相对不公平值rA和rB讨论，方总席位增加一席时，应该分配给A还是B。

不失一般性可设p1/n1＞ 个席位时，关于p1/n1、

p2/n2，即对A不公平。当再分配1

p2/n2的不等式可能有以下3种情况：

1. p1/?n1?1?＞p2/n2，这说明即使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这一席显然应分给A方。

2. p1/?n1?1?＜p2/n2，说明当A方增加一席时将变为对B不公平，参照 (2) 式可计算出对B相对不公平的值为

rB?n1?1,n2??

p2?n1?1?p1n2?1 ???? （3）

3.

p1/n1＞p2/?n2?1?，即当B方增加一席时将对A不公平，

p1?n2?1?p2n1参照 (1) 式可计算出对A的相对不公平值为

rA?n1,n2?1???1 ???? （4）

（不可能出现的情况，为什公？）

因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能地小，所以如

38

果

rB?n1?1,n2?＜rA?n1,n2?1?

则这一席应分给A方；反之则分给B方。根据（3）、（4）两式，

p1p2（5）式两边同乘以n?1n?1得

?1??2?2p2p12＜ n2?n2?1?n1?n1?1? ????（6）

(5)、(6)两式是等价的。还不难证明，上述第一种情况的

p1/?n1?1?＞p2/n2也与 (6) 式等价。于是我们的结论是，当 (6)

式成立时增加的一席应分给A方，反之则分给B方。或者，若记

Qi?pi2/ni?ni?1? （i=1，2），则增加的一席应分给Q值较大的

一方。

上述方法可以推广到m方分配席位的情况。设第i方人数为pi，已占有ni个席位，i=1、2??m。当总席位增加一席时，计算

pi2 Qi?ni?ni?1?， i=1,2,??m ???? (7)

应将这一席分给Q值最大的一方，这种席位分配方法称为Q值法。

下面用Q值法重新讨论本例中提出的甲、乙、丙三系分配21个席位问题。

先按照比例计算结果将整数部分的19个分配完毕，有

n1?10,n2?6,n3?3，然后再用Q值法分配第20个席位和21个席

位。

39

1032632?96.4,Q2??94.5, 第20个席位：计算Q1?10?116?7342Q3??96.3,Q1值最大，于是这一席应分给甲系。

3?41032?80.4,Q2,Q3同上，Q3最 第21个席：计算：Q1?11?12大，于是这一席应分给丙系。

这样，21个席位的分配结果是三系分别占有11、6、4席，丙系保住了险些丧失的1席。你觉得这种分配方法公平吗？你有没有更好更简便的分配方法？

三. 评注

席位分配应该对各方公平是人人都赞同的，问题的关键在于建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标。这个模型提出的指标是相对不公平值rA、rB，它是确定分配方案的前提。在这个前提下导出的分配方案——分给Q值最大的一方无疑是公平的。

最后我们分析一下Qi的表达式 (7)，看看它为什么能反映对第i方的不公平程度。记p为总人数即p??pii,n为总席位数，且设第

?pii方席位ni为按人数比例计算的整数部分即ni???p?n?,于是有 ?pippi＜?n?1?nni ???? (8)

?i上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方时，该方

40

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库初等数学模型 - 图文(9)在线全文阅读。