初等数学模型 - 图文(4)

债券价格的评估与股票相似，也以其收益的现值作为该种债券的评估价。债券价格的评估根据付息方式不同有两种情况。

(1) 每年支付利息到期还本的债券

记PV为债券的价格，C为年利息收入，D为债券面值，n为债券尚存的偿还期，ri为各年的贴现率。则：

CCCDPV??????2nn1?r1?1?r2??1?rn??1?rn?

??i?1nC?1?ri?i?D

n?1?rn?若将各年的贴现率近似地用一个平均的贴现率r代替，则上式可简化为： PV?

?i?1nC?1?r?i?D?1?r?n?C1??1?r?r?n?D?1?r?n

(2) 到期一次还本付息的债券

这类债券的评估模型比较简单，如下式所示：

PV?nC?D?1?r?n

由予债券的面值、期限、发行利率在发行时已经确定，债券价格的高低完全由贴现率决定。如果银行利率上调，贴现率增大，债券的价格就会下跌，甚至跌破面值；相反，贴现率下降，债券价格上升。

第三节 收益与风险测定模型

金融市场的基本职能不仅在于分配资金，而且也分散风险。收益和风险是投资学的中的中心问题，其他问题都围绕这个中心而展开。

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本节介绍投资收益与风险的概念及测定方法。 一. 收益与收益率

1. 收益与收益率

投资者进行投资的目的是获取一定的收益。 收益(报酬，return)，即收入或资本的增益。 收益率(报酬率)：收益总额占投资总额的百分比。

总收益?100% 收益率?投资总额收益率的计算方法因投资期间的不同而不同。投入的本金在现在，而将得到的收益发生在未来，这便涉及到货币的时间价值及现值理论。下面以股票为例，说明证券投资的收益率。 (1) 单期收益率

单期收益率是指某一期间股票价值变动额加上当期股利收入与买入价格的比率。它可以衡量投资者财富增加或减少的速度。 证券投资的收益有两种：买卖差价与息(现金股利或债息)。

设Pt为t期末的市场价格(或卖出价)，Pt?1表示期初市场价格(或买入价)，Ct表示t期间取得现金收入(股息或债息)，Rt表示第t期的收益率，则： RtPt?Pt?1??Ct??Pt?1

例如，年初以100元买进一份股票，年末以108元卖出，年内收到股息2元，则股票收益率为：

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?108?100??2?10％100

(2) 多期收益率

假设某投资者在某一季初买入某股票，在下一季末卖出，连续进行四季交易，其交易价格及投资收益率见下表2。

表2 每季末 0 1 2 3 4 每 季 股 利 0 0 0 0 0 每季末股票价格 20 20.80 21.63 22.50 23.40 每季收益率 0.04 0.04 0.04 0.04 分折：投资者的每季投资收益率为4％，年报酬率为16％，但

如果该投资者年初以每股20元买进，年末以每股23.40元价格卖出，则其年收益率为17％。两者计算方法不同使得投资收益不同，这主要是由于收益率定义期限不同所致。

表2收益不考虑分红派息因素，完全由买卖差价决定。投资对于多期间股票收益率的测定，必须考虑各个期间的收益率，然后求平均数。

2. 平均收益

常见的平均收益率计算方法有如下两种：

(1) 算术平均数

如果设Ri表示第i期的投资收益率，n表示持有期数，平均收益率计为R，则：

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R1?R2???Rn R?

n例如，每季报酬率分别为10％、12％、-2％和8％，那么一年的平均收益率为：

R?10%?12?%??4?%?28%?7%

持有平均收益率为7％。

计算平均收益率有时采用时间加权平均数计算，即给每期的收益率乘上权数后再求平均数。

(2) 几何平均数

设Rt为t期收益率，Pt为t期末的每股市场价格，Ct为t期股利收入，则任意t期收益率为： RtPt?Pt?1??Ct??Pt?1?Ct?1?Pt?1 Pt?1记R为收益率的几何平均数，则： 1?R?n?1?R1??1?R2???1?Rn?

几何平均数计算复杂，有待改进。

在投资过程中，由于股票红利及股权出售等情况的剧烈变化，本期红利加上股票的价格变化并不能总是准确地表示股东总收益，所以收益率的几何公式在实际应用中常需要调整。设Vt为第t期的投资收益，Vt?1为t－1期的投资收益，Rt表示第t年末的投资收益率，则：

?Vt?Vt?1VtR???1

Vt?1Vt?1?t19

按几何平均数计算，平均收益率R?满足：

?V1V2?Vn?Vn? 1?R????????

?V0V1Vn?1??V0??1n1n?1?R或 Vn?V 0??这正是连续复利公式。

算术平均数是以保持一定投资规模来计算收益；而几何平均数则是利用再投资，即股东把所获股利及增值用于再投资，因而可利用复利公式计算收益率。上述公式同样适用于其他一些金融资产的收益率计算。

二 . 风险与风险测定

投资者进行投资是为了获取一定收益，但是投资发生在现在，收益是未来的收入。受时间等因素的影响，未来的收益可大可小，甚至遭受损失，这种收益的不确定性即是风险。

世界上设有免费的午餐，有投资就一定会有风险。投资风险主要有市场风险、利率风险、购买力风险、违约风险及财务风险、经营风险等。

市场风险是指整个投资市场的价格水平发生波动而引起的投资风险。证券市场的价格整体水平可以用股票价格指数来表示。

利率风险是指市场利率变动引起的投资收益变动的可能性。 根据证券价值的基本模型，市场利率升高时，证券的价值会下降，投资者便抛售证券，把资金投向利率升高后的银行储蓄，致使证券价格下跌；反之，当市场利率下跌时，证券的价值会上升。结果使得证

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