假定本金为P，年利率为r，每满1/m年计息一次，按复利计算，求n年后的本利和。
分析：一年计m次利息，n年共计息mn次，年息为r，则每
次计息率为r/m，按基本复利公式，n年后的本利和为：
rmn?) P(1m现假设m无限增大，即在越来越短的时间内将利息计入本金，其极限情况意味着随时将利息计入本金里。则n年后的本利和为：
r(1n?limP? Pm??mmnnr?)Pe
1n?)?e，其中e为自以上计算利用了极限基本公式：lim(1n??n然底数。
连续复利公式：
Pn?Penr
公式的含义：P为本金，年利率为r，利息及时计入本金，n年后的本利和为Pe。
复利计算还可以查复利表，这里不再介绍。
nr五. 名义利率与实际利率
货币不仅可以具有固定的年利率，也可以在一年中具有月利率，按月进行复利计算，这样一年就要进行几次复利计算，这种投资过程称为具有复利频率的投资。
特别指出，对于具有复利频率的贷款活动或投资活动，有两种年利率，即名义利率和实际年利率(有效年利率)。
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例1-3. 一张100元的信用卡，标明利率为月息1.5％，由于利
息计算总在年末，所以用12乘以1.5％=18％，称为名义年利率r，这并不是实际结算的利率，因为在这1年中12个月是按复利计算的。
假如这张信用卡在1年内没有花过，那么在年末结算时，按复利计算应当支付：
F?100?(1?0?015)12?119?56(元)
总利息为19.56元，即年利率为19.56％，高于18％的名义利率。 一般来记，若求复利的频率为m(上例为12)以及名义年利率r为巳知，则实际年利率i由下式决定：
rm)?1?i mrm故 i?(1?)?1
m(1?上式说明名义利率与实际利率之间的关系。
如名义年利率为8％，每半年复利一次(m=2)，则实际年利率为：
i?(1?0?04)?1?0?0816?8?16%
一般实际年利率均大于名义年利率。
2六. 现值理论
现值理论是讨论资金的现在价值、终值及折现，它是价格理论的基础。
现值——未来的货币收入的现在价值，或未来的某一时刻的货
币资金按某种利率折算到现在的值。
终值——将来值，或称期望值。在现在时刻看，发生在未未某时刻一次支付(或收入)的货币资金。
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现值公式——将终值按一定利率折算成现值的表达式。
设P表示本金(现值)，利率为r，n年后的本利和(终值)记为F。
nF?P(1?r)由复利公式 可得：
FP?
(1?r)n
上述公式称为现值公式(或折现计算)。
1其中F表示终值，
(1?r)n 称为折现系数，记为(P/F，r，n)。
现值公式可记为P=F(P/F，r，n)。
例1-4 某企业拥有两张未到期的期票，第一张期票面值为10000元，2年后到期，另一张期票面值为15000元，3年后到期。现企业急需用钱，所以拿这两张未到期的期票进行贴现(即换取现金)。若接受此期票者期望得到7％的资金年利率，那么他最多付多少钱能收购此期票？
解：对这两张期票分别计算现值，然后求和。所求折现值为：
P?1000015000??10000(P/F,0.07,2)?15000(P/F,0.07,3)23(1?0.07)(1?0.07) =10000×0.8734+15000×0.8163=20978.5（元）
七. 银行按揭的数学模型
市场经济时代，银行为了搞活业务，企业为了促进推销，纷纷推
出各种各样的银行按揭。如商品房按揭，购车按揭等等，它们的共同特点是：以客户的信誉作担保，或以一定的资产作抵押，先在银行贷款，然后再分期等额偿还。银行为了方便客户查询，一般制成一张按
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揭表，客户可查表计算，选择按揭期限与方式。
按揭表是如何得来的，其数学模型是什么？银行按揭可归结为数学问题：贷款P元，年利率为r，分n期等额偿还，每期应还多少？
分析：考虑资金的时间价值，不能简单地平均处理。应考虑偿
还值的折现。一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息i=r/12，设每期偿还A元，则n期还款折现为现在价值的总和应等于贷款总额(不考虑手续费及中间交易税等项)。
由现值公式可知
A第一期还款A元的折现值为
1?i
第二期还款A元的折现值为
???????????
A(1?i2) A(1?in)
第n期还款A元的折现值为 所以
AAAP?????21?i(1?i)(1?i)n
n?A?1????1????i???1?i???
i故 A?P?1?(1?i)?n
上述公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式(已知P求
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iA)。称为资金还原系数，常用(A/P，i，n)表示，可查复
1?(1?i)?n利计算表。每月偿还额A也可以用以下方法计算：设Pn为第n个月尚欠银行的钱。根据假设应有：
P0?P
P1?P0(1?i)?A?P(1?i)?A
P2?P1(1?i)?A???P?1?i??A??(1?i)?A?P(1?i)?A?(1?i)?1?2
?????????
n?1n?2Pn?P(1?i)n?A?(?i)?(1?i)?…?(1?i)?1???An?P(1?i)??(1?i)?1???in
令Pn等于零，即到第n期全部还清，由此从中求出A可得到同样的结果。
例1-5 某人贷款金额为20万，年利率为6％，计划办5年银
行按揭，问每个月月末应向银行存款多少钱(即向银行还款多少钱)？
解：已知 P=200000元，i=6％/12=0.5％，n=5×12=60(月)。
由银行按揭数学模型可知，每月偿还数额A为：
iA?P??P(A/P,i,n)?n1?(1?i)?200000(A/P,0.5%,60) ?200000?0.01934?3868按5年银行按揭方式，每月月末应还贷款3868(元)。上例中： (1) 客户5年实际还款总数为3868×60=232080(元)。差额即所付利息总额为：232080-200000=32080(元)，即5年累计付息32080元。
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