初等数学模型 - 图文

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第一章 初等数学模型

很多问题只要用到初等数学知识就能完成建模过程，而没有必要用高等数学的方法。其实，只要能达到建模的目的和要求，所用的数学理论越简单越好，因为要用于解决实际问题，是要给大家看的，当然越简单越好。只有迫不得以非用高深数学知识不可，才选择高深的数学知识。下面举几个只要用初等数学就能解决的问题，我们把它称为初等数学模型。

第一节 利息的计算与银行的按揭模型 一. 资金的时间价值

如果你拥有一笔资金，你绝对不会把它长期的放在抽屉里，而是存入银行或进行其他投资，例如买股票、债券或其他的投资。这是因为资金具有时间价值。资金的时间价值是指资金随时间推移而发生的增价。

在投资决策中，考察资金的时间价值，正是考察使用该资金进行投资所须放弃的利益，即机会成本。机会成本是所放弃的诸方案中盈利最大方案的利润值。例如某资金若投资于某工程，就放弃了将其存入银行或贷给他人的机今。假设有资金100万元，银行的年利率为10％，贷给他人的年利率为12％，则从机会成本的角度计算，这笔资金的时间价值应为12％（或者说12万元）。

一笔资金如果不用于投资则不会有资金增值，如果资金不存入银行，不购买股票，也不进行其他投资，而是把资金锁在自已的抽屉里，

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随着时间的推移，不仅不会增值，或许还会贬值。资金拥有者应当把资金投入到创造增值的活动中去，并有权获得资金时间价值带来的回报。

资金的价值随时间的变化而变化，其原因有如下几种： （1）通货膨胀：在通货膨胀情况下，用商品和劳务购买力所表示的货币价值不断下降。

（2）风险：现在手头的100元是确定的，而明天是否仍是100元是不确定的，这种不确定性就是风险。风险对于投资者而言，是非常重要的。

（3）个人消费偏好：不同的人有不同的消费习惯（或不同的消费偏好），许多人偏好眼前的消费，而不是将来的消费。

（4）投资的机会：货币（或资金）正如其他商品一样，也具有价值，如现在得到的一万元现金与一年后得到的一万元相比，人们都会选择前者，因为现在的一万元存在投资的机会，如存入银行，假若年利率为6％，则一年后将得到10600元。

二. 资金的增值过程

西方经济学家分析货币的时间价值提出流动偏好说和时间偏好说两种理论，所谓流动偏好论是认为支付利息（代表货币的时间价值）是使用资金的报酬，而时间偏好说则认为利息是补偿时间的损失。

马克斯的资金循环理论认为：资金不仅在时间上是连续的，而且在价值上是不断增值的。、

资金经过一段时间后，由G变为G’，两者之间的差值G－G’=

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△G即为货币资金的时间价值。货币资金的时间价值具有三个特点：

（1）增量△G是时间t的函数，即：△G=f（t），其中t为时间，

△G表示资金的增量（货币的时间价值）。

（2）△G可能是正值也可能是负值。正值表示经营有效，负值表示发生亏损。

（3）△G的大小反映出效率的高低。效率就是单位时间的利用价值（△G／△t），效率高表示单位时间内的资金利用价值增大。

三. 单利与复利

利息是资金的时间价值的一种表现形式，是使用资金应付出的代价。利率是利息所占本金的百分比，即：

利率=(利息/本金)× 100％

商业银行的利率分存款利率与贷款利率。存款利率高，对投资者有利，但是银行因为负债成本高，为了获利，它必须以更高的贷款利率贷出。而企业可能因为利息太高借不起钱，银行获利机会相应减少。因此，过高的银行利率不利于经济的发展。利率是宏观控制信贷的重

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要手段，中央银行的放款利率若增加(或减少)一个百分点，都会对社会发展产生重大影响。

计算利息的方法有两种：单利与复利。

(1) 单利：仅按本金计算利息，利息本身不再支付利息的计息方式。

假定一笔存款本金为1000元，年利率为10％，期限为3年，求3年后的本利和为多少？

分析：3年后的利息(单利)：

1000×10％×3＝300

本金：1000

本利和为：1000+300=1300(元)

即 1000×（1+3×10％）=1300（元）

一般地，设本金为P，年利率为r，n年后的本利和A为： A=P ×(1+nr)

这就是单利的计算公式(或模型)。

（2） 复利： 本金和利息都要逐年计息，它具有重复计息的效应。俗称(利滚利)。。我国银行多采用单利法计息，而西方国家银行多采用复利计息方法。

四. 1.

复利的计算

基本公式

一次投资，一次回收，即一次支付复利公式。假定本金为P，利率为r，计算n年后的本金和F。

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分析：

第一期本利和：P+Pr=P(1+r)

第二期本利和：P(1?r)?P(1?r)r?p(1?r) ???

n?1n?1nP(1?r)?P(1?r)r?p(1?r)第n期本利和：

2nP(1?r)复利公式为：F=

例1-1 某企业进行技术改造向银行借款10万元，年利率5％，

第二年年末还清。按复利计算，第二年年末需向银行偿还本利共多少？

(1?rn) 解：由复利公式 F?P

F?10(1?5%)2?11.025(万元)

即第二年年末向银行偿还的本利和共11.025万元。

例1-2 曼哈顿问题：1626年，荷兰东印度公司从曼哈顿的土著

居民手中购买该岛主权，所用金额为24美元。24美元买一座海岛，现在看来，简直不可想像，太便宜了！果真如此吗？请计算一下，当年的24美元现在是多少？

解：假设年利率6％，我们取个整数算到1976年是350年。按

复利计算：

F?24(1?6%)350?17268876484.38元

当年的24美元，350后本利和近172.68亿美元。由此可见，当年的投资，物有所值。

2. 连续复利公式

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