初等数学模型 - 图文(8)

情况下的净利得值的最高值作为该情况下的理想目标，并将该经济情况下的其他利得值与最高值相减所得差，作为遗憾值。据此作出遗憾表如表5所示。

由表4可求出各方案的最大遗憾值。

max?2,2,4,1??4s1max?0,0,4,3??4s2

max?3,3,0,0??3

s3max?2,1,2,0??2s4max?2,2,1,0??2s5再从最大的遗憾值中选一个最小值 min?4,4,3,2,2??2 最小值2对应方案S4或S5

表5 ?1 ?2 ?3 ?4 s1 2 2 4 1 s2 s3 s4 s5 0 0 4 3 3 3 0 0 2 1 2 0 2 2 1 0 5. 等可能性准则——拉普拉斯准则（Laplace）

如当时的客观情况不清时，什么事情都可能发生，不防认为各种经济情况出现的可能性是相等的，这种想法是由拉普拉斯首先提出来

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的。故又称之为拉普拉斯准则。根据这个准则，可以算出净利得期望值分别为表6所示。

表 6

方 案 利 得 期 望 值 S1 S2 S3 S4 S5

118?5?3?5?5?? 44120?7?5?5?3?? 44121 4?2?9?6???44122?5?4?7?6?? 44122?5?3?8?6?? 44从表6中可以看出，应选取方案S4或S5，因为它给出最大的期望值22/4。

6. 最大利得期望值准则

当各种情况出现的概率为已知时(不一定是等可能性)，我们取具有最大利得期望值的方案。设在此例中，未来的经济行情?1,?2,?3,?4出现的概率分别为0.2，0.2，0.5，0.1。则各方案的利得期望值如表7所示。

表 7 方 案 s1 s2 s3 s4

利 得 期 望 值 0.2×5+0.2×3+0.5×5+0.1×5=4.6 0.2×7+0.2×5+0.5×5+0.1×3=5.2 0.2×4+0.2×2+0.5×9+0.1×6=6.3 0.2×5+0.2×4+0.5×7+0.1×6=5.9 32

s5 0.2×5+0.2×3+0.5×8+0.1×6=6.2

从表7中可以看出，最大的利得期望值6.3所对应的方案是s3，所以决策者应选方案s3。

三. 风险决策中的决策树模型

当情况很复杂，需同时采取若干种策略才能达到一个目的，相应的结果也较多时，要用决策树方法。现举例说明。

例3-2 某化工厂，由于工艺落后，产品成本高，在价格保持中

等水平时无盈利，跃价时要亏本，涨价时有盈利。欲改革工艺，有两种方法，一是自已研究，成功的可能性是0.6，二是买专利，谈判成功的可能性是0.8。不论研究成功或谈判成功，生产规模要考虑两种方案：产量不变或增加产量。如果研究或谈判都失败，则采用原工艺生产，产量不变。

据预测，今后五年内该种产品跃价的可能性为0.1，保持中等水平的可能性是0.5，涨价的可能性是0.4。各个方案在不同价格情况下的利得值如表8。应采用何种方案？

第一步画决策树，如图四。 第二步计算各点的利得期望值

点4：0.1×（-100）+0.5×0+0.4×100=30 点8：0.1× (-200) +0.5×50+0.4×150=65 点9：0.1×（-300）+0.5×50+0.4×250=95

95＞65，因此应划掉产量不变的方案，并将点9转移到点5 同理，把点11转移到点6。

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点2：0.2×30+0.8×95=82 点3：0.6×85+0.4×30=63 第三步确定方案。

点2与点3比较，点2的期望值大，合理的决策是购买专利（一般来说买专利比进口设备合算）

图中符号说明：

△——结束节点（或末梢）。它傍边的数字是每一个方案在相应状态下的利得值。

□——决策点，从它引出的分枝叫方案分枝，分枝数反映可能的行动方案数。

○ ——方案节点，其上方的数字表示该方案的利得期望值，从它引出的分枝叫概率分枝，每条分枝上面写自然状态及其出现的概率，分枝数即是可能的自然状态数。

表 8

利得值 方按原工艺 案 生 产 概率 价格下跃(0.1) -100 价格中(0.5) 0 价格上涨(0.4) 100 买 专 利 成 功 (0.8) 产量不变 增加产量 -200 -300 50 50 150 250 自 行 研 制 成 动 (0.6) 产量不变 增加产量 -200 0 200 600 -250 -300 34

图 四

第五节 席位的公平分配问题

名额分配问题是数学应用于人们政治活动中的一个实际例子。追溯它的起源，是西方所谓民主政治问题。美国宪法第1条第2款指出：“众议院议员名额??将根据各卅的人口比例分配??”。可以说，这就是名额分配问题的缘起。美国宪法从1788年生效以来，200多年中，关于“公正合理”地实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家们和科学家们展开了激烈的争论。虽然设计了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的赞同。说的近一点，这个问题在我们日常生活中也会遇到，例如学校的学生会为了协调各系的工作，给各系分配

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