初等数学模型 - 图文(3)

(2) 按揭时间越长，每个月偿还数量越少，减轻客户的偿还压力，但按揭时间越长，付出的总利息越多。

(3) 上述模型中，没有考虑年息的变化，即假定年利率是不变的。实际生活中，银行的利率随着经济情况经常变化(降息或加息)，相应的每月偿还资金随利率作一些调整

(4) 大型商品的分期付款方式，类似于银行按揭。

第二节 证券价格的评估模型

投资可以获利，人们之所以愿意购买证券，是因为它能够带来预期收入(差价与利息)。证券一般指股票、债券等有价证券。证券的价格受多种因素的影响，如政治、经济、心理等，但决定性因素是股息(债息)及银行利率。而证券的价格也有许多形式，大体可分为：理论价格与市场价格。理论价格，又称内在价值。在理性市场中，市场价格总是围绕内在价值上下波动。

人们持有股票，是为了从中获取收盖。从理论上说，股票的价格可以看作是股票投资者对未来各期每股预期收盖的现值之和，是一种适当利率的贴现。

设第t期每股预期股息收入为Dt，贴现率为r（或股东要求的实际收益率），n期后股票的理论价格记为W，则：

DnD1D2???? W?21?r(1?r)(1?r)n

设t－1时刻的股利为Dt?1，t时刻的股利为Dt，从t－1到t时间内，股利增长△D?Dt?Dt?1，股利增长率gt为：

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Dt?Dt?1 gt?Dt?1

1. 零成长模型

假定未来各期预期股息不增长或增长率为0，即各期股息固定为D，或D1?D2???Dn?D，则：

DDD?????? W?2n1?r(1?r)(1?r)前n项的和为：

n?D?1?? Wn?r?1??1?r??

?????? 当投资者持有期很长时，即n→∞，有

D W?

r 上述公式即零增长模型。当贴现率r为银行利率时，上述公式为：

股息 股票价格=

银行利率这个公式具有非常重要的意义：它表明股价与股息成正比，与银行利息成反比。它反映降息促使股价上扬这种股市现象。

假如A公司每年派发现金股利2元，贴现率为10％，用零成长模型公式可计算出该公司股票价格内在价值为2/0.10=20元。若该股票市场价格是18元，则该股票被估价过低，仍有投资的价值。

2. 固定增长模型

假设股利以恒定的增长率g增长，设第一年股利为D，则第二年

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2D(1+g)股利为D(1+g)，第三年股利为 ??

股票的价格W则为各期股利的折现之和，即：

DD(1?g)D(1?g)n?1W=??????2n1+r(1?r)(1?r)

nD??1?g????1????r?g???1?r???

( 若g＞r,当n→∞,W→∞.这不太可能)

在永久持有股票且g＜r时，上式可简化为

D W?r?g 当n→∞时

将上式与零成长模型比较： △W?DDgD??＞0 r?grr(r?g)这就是前景看好、增长潜力较大的公司股票市价较高的理论依据。△W被称为增长机会现值(Present Valule of Growth Oportunities，PVGO),根据PVGO的值可将股票分为三种：

?＞0 增长型股票，g＞0?PVGO??=0 稳定型股票，g=0

?＜0 负增长模型，g＜0? 可见，股利恒定增长评估模型也适用股利恒定减少的情况，此时g＜0。零成长模型实际上是固定成长模型的一个特例。当固定成长率为零时，固定成长模型变为零成长模型。

3. 三阶段模型

股利长期不变，或永久以固定增长率增长模型都是不现实的。

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任何公司的发展都是阶段性的，很多公司在起步阶段发展快，经过一段时间调整，才进入稳定的发展阶段。为此，我的设想股利变化经过三个阶段。这种模型也许更接近现实。

第一阶段；股利以固定比率g0增长，持续k年；

第二阶段：从k+1到n年，经历一个转换时期，在这一时期，股利增长率以直线形状变化；

第三阶段：进入持续稳定状态，股利以新的比率gn恒定,如图 （2）。

图 (2)

第二阶段中增长率由直线方程决定：

t?k gt?g0?(g0?gn)

n?k当t=n时，正是过渡期的末尾。由直线方程可知，给定g0，k, n 和最近一年的股利D0,就可以计算出任何将来时间的股利，然后再给定一个合适的折现率，可以计算出预期股利的现在价值。

其股票价格可由下式估计得到：

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tn?Dt?1?1?gt??Dn?1?1?g0??????? W?D0?? tn??1?r1?rr?gt?1?1?r?t?k?1?????n???k其中D0为最近一年的股利，Dn?1?Dn?1?gn?为第n+1年的 股利。

例2-1 某种股票股利在最近两年内将6％的比率增长，而在之

后的3年中增长率以每年递减1％的速度减至3％，并保持不变。经估计，适当的折现率为8％。假定股票前一年的股利为1元，计算每一年的增长率与股利估计，并求出预期股利的现在价值。

解：对于每一年的增长率与股利估计，结果如下表1所示。

表1 股利增长变动资料

年份 一阶段 1 2 二阶段 3 4 5 三阶段 6 增长率(％) 6 6 5 4 3 3 股 利 1×1.6=1.06 1.06×1.06=1.124 1.124×1.05=1.18 1.18×1.04=1.227 1.227×1.03=1.264 1.264×1.03=1.302

预期股利的现在价。(即股份)为：

1.061.2641.302W??????22.36 551.08?1.08??1.08??0.08?0.03?三阶段股利折扣模型的最后一部分，实际上是固定成长模型，即前两阶段退化(不存在，或n=0)时，三阶段模型变为固定成长模型。

三阶段模型计算比较麻烦，且无法利用模型直接求折现率，为此，有人已经提出了改进模型，如H模型、P/E模型等，这里就不作介绍。

4. 债券价格的评估模型

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