初等数学模型 - 图文(5)

0＜?0＜?/2, 使h??0??0,即g??0??f??0?，由条件对任意的θ，

均有g(θ) f(θ)=0, 所以有

g??0?f??0??0

g??0??f??0?

即存在?0的位置，能使四条腿同时着地。所以椅子问题的答案是：如果地面是光滑的曲面，则四条腿一定可以同时着地。

椅子问题的解决抓住了问题的本质，在合理的假设下(椅子中心不动，对角线看成坐标轴)，将椅子转动与坐标轴的转动联系起来，将腿与地面的距离用θ的连续函数表示。由三点决定一个平面得g(θ) f(θ)=0, 又根据连续函数中值定理使这一问题解决的非常巧妙而又简单。自然界中的许多事物具有相似性，一个科学工作者，应充分发挥自已的联想能力，多方面的掌握研究对象和用作比较对象的知识，抓住事物的相似性，进行类比，椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好的实例.

第八节 几个趣味数学题

问题一

问题：人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载

一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃来。问人、狗、鸡、米怎样过河？

这是一道趣味数学题，问题比较简单，可用递推方法解决。下面我们用数学中的状态转移问题来解决。

将人、狗、鸡、米依次用四维向量中的四个分量表示，其状态如

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何表示呢？当一物在南岸时，相应分量记为1，否则记为0。如向量 (1，0，1，0)表示人和鸡在南岸，狗和米在北岸，这个称为状态向量。这样表示十分简单明了，不会弄错。

由问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些是不允许的。凡是系统可以允许的状态称为可取状态。对本系统来说，可取状态向量可以用穷举法列出来。

(1，1，1，1) (0，0，0，0) (1，1，1，0) (0，0，0，1) (1，1，0，1) (0，0，1，0) (1，0，1，1) （0，1，0，0) （1，0，1，0） (0，1，0，1)

共10个状态，右边5个正好是左边5个的相反状态。

将船的一次运载也用向量表示，当一物在船上时相应的分量记为1，否则记为0。如 (1，1，0，0)表示人和狗在船上，即人带狗过河。

本系统的运算向量共有4个：

（1，0，1，0）、(1，1，0，0) 、 (1，0，0，1) 、 (1，0，0，0)

一次过河就是一状态向量和一运算向量的加法，在加法运算中，对每一分量采用二进制（0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0）。

由于问题的要求，可取状态经过加法运算后仍是可取状态，这样的运算称为可取运算。

根据以上假定，人、狗、鸡、米过河问题转化为：找出从状态(1，1，1，1)经过奇数次运算变为状态(0，0，0，0)的系统状态转移过程

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（为什么运算必须是奇数次，请大家想一想）。作法如下：

??1,???1,,?1?1,1,1??（1）

??1,?1,????1,???1,0,1,0,?1??（2） ???1,?1,??0,1?,0???1,0?,0????0,0?,1??0,0?,0???0,1?,0???1,0?,0????0,0?,1??0,0?,0???0,1?,0???1,0?,0????0,0?,1??0,0?,0???0,1?,0???1,0,0?????0,0?,1??0,0?,0???0?,1,0,10?,?0,1,10?,?1 ,1,00?,?1,1,11?,??1,1,11,??0,0,11,?1?, 0,01?,1,0,10?,?1,1,10,?0,0,10,?1, 0,00?,??1,0,11?,0,1,11?,??1,0,11,0?, 0,0??1,???1,1,1,0,?1??（3） ???1,?1,????1,???1,,?1??（4） ?0,0,0??1,?1,???1,??0,0,1??1,0,1,0???1,1,1,0?????1,1,0,0???1,0,0,0??,0,1,0,0?????（4） ? 1,0,0,11,1,0,1?????????1,0,0,0?1,1,0,1?????????1,???1,1,0,?1?,?1（5） ???1,?1,??

0,1?,0???1,0?,0????0,0?,1??0,0?,0???0,???0,0,10?,?1,1,10,?0, 1,00?,?0,1,148

??1,0,1,0???0,1,0,0???????1,1,0,0???0,0,1,0?1,1,1,0?????（5,） ?

??1,0,0,1???0,1,1,1???1,0,0,0?0,1,1,0?????????1,???1,0,0,1,0???（6） ???1,?1,??0,1?,0???1,0?,0????0,0?,1??0,0?,0???1,?0?,0,01?,??1,1,01?,??0, 1,11,?0,1,0（7）

??1,0,1,0???0,0,0,0?????1,1,0,0???0,1,1,0?????1,0,1,0???

??1,0,0,1???0,0,1,1???1,0,0,0?0,0,1,0??????（×表示不可取状态，虽然允许但已重复则注为××）

第七步已出现状态(0，0，0，0)，说明经过7次运算从状态(1，1，1，1)即变为状态(0，0，0，0)，人、狗、鸡、米已安全过河。

用这种方法的优点在于使用计算机能求出所有的转移过程，并比较出最优者。当所有的转移过程都出现循环时，则问题无解。可以看出，当状态向量维数增加，约束条件较复杂时，使用这种方法能方便求解。

另外，人、狗、鸡、米问题还可以用图论方法求解。

将本系统的10个可取状态用10个点表示，当且仅当某个可取状态经过本系统的运算向量而仍为可取状态，就连一条线，从而构成一个图G，如下图所示。

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??1,0,1,0???0,1,0,1?????1,1,0,0???0,0,1,1??1,1,1,1??????

??1,0,0,1???0,1,1,0???1,0,0,0?0,1,1,1?????????1,0,1,0???0,1,0,0?????1,1,0,0???0,0,1,0?1,1,1,0?????? ??1,0,0,1???0,1,1,1???1,0,0,0?0,1,1,0??????? 50

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