概率统计题解（全）(9)

因为X和Y相互独立，所以有E(X?Y)?E(X)?E(Y)，又 E(X2Y2)??????22xyf?????(x,y)dxdy????2??2xfX(x)dxyfY(y)dy??????E(X2)E(Y2)，

从而有 D(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)

2222222? ???E(X)?E(X)?E(Y)?E(X)E(Y)?E(X)E(Y)22 ?D(X)E(Y2)?E2(X)?E(Y)?E(Y)???22??D(X)E2(Y)?E2(X)D(Y) ?D(X)?E(Y)?E(Y)???D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)．

34．设随机变量X和Y都只取两个数值，则X和Y不相关时，X和Y互相独立．

证明：X和Y都服从二点分布，记X?a，表示A发生，X?b，表示A不发生；同样，记Y?c，表示B发生，Y?d，表示B不发生；则有

X ab

Y cd P

P(A)P(A) X Y P P(B)P(B) bd acadbcP

P(AB)P(AB)P(AB)P(AB) E(X)?aP(A)?bP(A)，E(Y)?cP(B)?dP(B)，

E(X)E(Y)?acP(A)P(B)?adP(A)P(B)?bcP(A)P(B)?bdP(A)P(B)； E(XY)?acP(AB)?adP(AB)?bcP(AB)?bdP(AB)；

当X和Y不相关时，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，?E(XY)?E(X)E(Y)；

由于a,b,c,d取值的任意性（不妨取a?b?1,c?d?0），可得P(AB)?P(A)P(B)，即事件A,B相互独立，从而A,B,A,B之间两两独立．于是

P(X?a,Y?c)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?a)P(Y?c)，

P(X?a,Y?d)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?a)P(Y?d)， P(X?b,Y?c)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?b)P(Y?c)， P(X?b,Y?d)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?b)P(Y?d)，

故 X和Y互相独立．

35．设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,|y|?x,0?x?1 f(x,y)??其他?0,（1）求fX(x),fY(y)；（2）求E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y)； （3）讨论(X,Y)的相互独立性和相关性． 解：（1）fX(x)??????f(x,y)dy??1?dy?2x,(0?x?1)，

?x?xfY(y)?????????11?dx?1?y,(0?y?1)??y ； f(x,y)dx??1??1?dx?1?y,(?1?x?0)??y10（2） E(X)????xXf(x)d?x?222x?dx，

310E(Y)??y(1?y)dy??y(1?y)dy?0；

?10E(XY)??E(X2)???????????xyf(x,y)dxdy??dx?011??2x3dx?， 021?x?xxydy?0；

??2xfX(x)dx??E(Y2)??y2(1?y)dy??y2(1?y)dy??10011； 61?2?1D(X)?????,2?3?18211D(Y)??0?；

662（3）cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0??0?0,?3?XY?0，

即(X,Y)不相关，但fX(x)?fY(y)?f(x,y)，故(X,Y)不相互独立．

36．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??其他.?0,求相关系数． 解：fX(x)????????fY(y)??E(X)??????3x?y)?dy?,?x( 00213f(x,y)dx??(2?x?y)dx??y,(0?y?1)

02f(x,y?)?dy?(?21x1)??5135； xfX(x)dx??x(?x)dx?，同理 E(Y)?018212E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??1dx?1xy(2?x?y)dy100?6； E(X2)????x2fX(x)dx??1x2(3?x)dx?1，同理 E(Y21??024)?4； 1522故 D(X)????114?，同理 1?5?11144；

?12???144D(Y)?4???12??? cov(X,Y)?1556??112?12?144； 所以有 ?cov(X,Y)?1/144?1XY?； D(X)D(Y)?11/14411/144?1137．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?f(x,y)??1?(x?y),0?x?2,0?y?2

?8?0,其他求E(X),E(Y),D(X),D(Y)、cov(X,Y)、?XY和D(X?Y)． 解：ff(x,y)dy??21(x?y)dy?x1X(x)??????084?4,(0?x?2)

f???Y(y)???f(x,y)dx??2108(x?y)dx?y14?4,(0?y?2)

E(X)????xf?2x177??X(x)dx?0x(4?4)dx?6，同理 E(Y)?6；

E(XY)??????22???xyf(x,y)dxdy??14??0dx?0xy8(x?y)dy?3；

E(X2)??????x2fX(x)dx??20x2(x4?14)dx?53，同理 E(Y2)?53； 2D(X)?53???7??6???1136，同理 D(Y)?1136；cov(X,Y)?43?76?76??136； 所以有 ?cov(X,Y)XY?X)D(Y)??1/36?111/3611/36?11；

D( D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?1136?1136?2?1536?9． 38．若随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且E(Xi)??D,X(i?)?2，i=1，1n2X?21n2，验证：（?n?Xi,S?1）E(X)??,D(X)?； i?1n?1?(Xi?X)i?1n2，?，n．令

（2）S2?1nn?1?(X2i?X2)；（3）E(S2)??2． i?1证明：（1）由已知条件及独立性，可得

?E(1n1nE(X)1nn?Xi)??E(Xi)?i?1n????，

i?1ni?12D(X)?D(1?nX?1?i)????nD(X1n2??2ni)?i?1?n?1n2??i?1n； i?（2） 2nnS?1n?1?(X2122i?X)?n?1(Xi?2Xi?X?X) i?1?i?1?1nn?1(?X2nnX21n2nn2i?2 i?1?Xi?i?1?X)?i?1n?1?Xi?2XX?Xi?1n?1n?11n?2n21n22n?1?Xi?X?1?(Xi?X)； i?1n?1n?i?1（3） E(S2)?E?n?1?(X?nni2?X2)??11?E(Xi2?X2)?1i?1??E(Xi2)?E(X2)?，

?n?1i?1?n?n?1i?1由于 ?2?D(Xi)?E(iX2)?2E(iX?)Ei(2X??)2?,Ei2(?X?)，2? ?同理

?222222n?D(X)?E(X)?E(X)?E(X)??,?E(X)??22n??，

所以 1n2E(S2)??2?n????2???(??)???2?1n(n?1)?21(n?1)?2．1i?1??n?n?1????n??i?1nn?1n39．设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=

12，?1XZ=?2，E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)．

解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1； D(X?Y?)Z??E(X??Y)Z?(E?X?2 ?Y)Z ?E??X?E(X)?2??Y?E(Y)?2??Z?E(Z)?2 ?2?X?E(X)??Y?E(Y)??2?Y?E(Y)??Z?E(Z)??2?X?E(X)??Z?E(Z)???D(X)?D(Y)?D(Z)?2cov(X,Y)?2cov(Y,Z)?2cov(Z,X)

?3?211?21?1?221?1?2??1??1?1?4． ?2??=1YZ2，求 2

110040．设随机变量X～N（100，0.2），对X作100次独立观测，观测值为X1,X2,?,X100，令X?xi，?100i?12

利用契贝谢夫不等式估计P{|X?100|?0.1}．

解：因为X～N（100，0.22），且X1,X2,?,X100相互独立，所以

11001100E(X)?E?xi??100?100， ??100i?1100i?1100110010.222 D(X)?， Dx?0.2?2??i?2?100100i?1100i?1取??0.1，由契贝谢夫不等式，有

0.22D(X) P{|X?E(X)|??}?1??P{|X?100|?0.1}?1?100?0.96． 22?0.1

第五章 大数定理与中心极限定理

1．设某系统由30个元件R1，R2，?，R30组成，若R1损坏R2立即启动，若R2损坏则R3立即启动，?，每个元件的寿命Xi（i=1，2，?，30）为服从参数?=0.1的指数分布，且X1，X2，?，X30相互独立．求系统总寿命T超过350的概率．

30111?10,D(Xi)?2?2?100，系统总寿命为 T??Xi，解：由已知条件，E(Xi)???0.1?0.1i?11由林德贝格－列维中心极限定理知T?N(10?30,100?30)，所以 P{T?350}?1?P{T?350}?1??(?350?300)?1??(0.91)?1?0.8186?0.1814． 30002．设某部件由10个部分组成，每部分的长度Xi为随机变量，X1，X2，?，X10相互独立同分布，E(Xi)=2毫米，D(Xi)=0.5毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率． 解：设总长度为T?10?Xi，则

i?1210E(T)??E(Xi)?2?10?20，

i?1?10D(T)??D(Xi)?(0.5)?10?2.5，同第1题，知T?N(20,2.5)，

i?1

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