概率统计题解（全）(3)

第二章 随机变量及其函数的概率分布

1．抽查5件产品，令A表示“5件中至少有一件次品”，B为“次品数不少于两件”，试用随机变量表示下列事件：A、B、B、A∪B、AB．

解：设X表示次品数，则X可能取值0,1,2,3,4,5 A={无次品}?{X?0}；B={次品数少于两件}?{X?2}；

B={次品数不少于两件}?{X?2}；A∪B?{X?1}；AB?{X?2}． 2．100件产品中5件为次品，从中任取20件，求取到的次品数X的概率分布．

20?kC5kC95解：本题X服从超几何分布，其概率分布为：P{X?k}?,k=0,1,2,3,4,5． 20C1003．某产品的一等品率为0.2，若从总产品中随机取30件，求取到的一等品数的分布律．

解：设X表示取到的一等品数，则X可能取值0,1,2,?,30，本题可看作独立抽取30次，一次抽取一件，

k抽得一等品的概率为0.2，于是X服从二项分布，其概率分布为P{X?k}?C30 (0.2)k(0.8)30?k,k=0,1,2,?,30．

4．从一副52张的扑克中任取15张，求其中“红桃”的张数X的概率分布．

k15?kC13C39解：X服从超几何分布，其概率分布为：P{X?k}?,k=0,1,2,?,13． 15C525．一位射手命中目标的概率为0.6，在相同条件下进行5次射击，求击中目标次数X的分布律． 解: 独立进行5次射击，命中目标的概率为0.6，故X服从二项分布，其概率分布为：

kP{X?k}?C5(0.6)k(0.4)5?k,k=0,1,2,3,4,5．

6．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的分布．

解：设X表示将门打开所需的试开次数，则X可能取值1,2,?,n．由于每把钥匙能打开房门的概率相同，

1类似抓阄模型，X = k相当于第k人抓到有物之阄．故其概率分布为：P{X?k}?,k=1,2, ?,n．

n7．袋中有五个球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3球，求3个球中最大号码X的概率分布和分布函数．解：设X表示3个球中的最大号码数，则X只能取值3,4,5，当X = k时，有利事件的样本点是从比k小的数中挑选其余的两个数，故其概率分布和分布函数分别为：

P{X?Ck2?1k}?3C5,?(kx?3?0?0.13?x?4?45?3?； ． F(x)?3?,4?,5)??0.10.30.6???0.44?x?5?x?5?18．若在15只同类型的零件中有2只为次品，从中任取3只，令X表示取出的次品数，求X的分布律和分布函数，并作出分布函数的图形．

解：X服从超几何分布，其概率分布和分布函数分别为：

3?kC2kC13P{X?k}?,(k?0,1,2)3C15?012???22121??????353535?x?0?0?22/350?x?1 F(x)??． ??34/351?x?2?x?2?1a?k9．（1）设随机变量X的分布律为P{X?k}?,k?0,1,2,?,??0为常数，试确定常数a．

k!a（2）设随机变量X的分布律为P{X?k}?,k?1,2,?,N．试确定常数a．

N???kNNa?k?aa???（2）解：（1） 1??P{X?k}???a??ae,?a?e1??P{X?k}????N?a?a?1．

Nk?1k?1Nk?0k?0k!k?0k!10．若在每次试验中，X总是取常数C，那么X是否可以作为随机变量？若可以，求X的分布函数． 解：可以将X看作是服从二点分布的随机变量，其概率分布与分布函数分别为：

X?x?cx?c?， ?0x?c ．

F(x)????P?01??1x?c11．设随机变量X的分布为P{X?k}?0解：(1)随机变量X的概率分布为????a?1a3a,(k?0,1,2,3)求 (1) 常数a；( 2) P{X?2}． 2k?12a53?，所以有aaa176105；

a????a?1?a??a?357105176?7? (2) P{X?2}＝P{X?0?x?1}?P{X?0}?P{x?1}?a?a?4a?35．

334412．某一大楼有5个同类型供水设备，以往资料表明，在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求； （1）在同一时刻被使用的设备数X的分布律（2）恰有2个设备被使用的概率（3）至少有3个设备被使用的概率（4）至多有3个设备被使用的概率（5）至少有1个设备被使用的概率．

2解：(1)X服从二项分布，故有P{X?k}?C5k(0.1)k(0.9)5?k,k=0,1,2,3,4,5(2) P{X?2}?C5(0.1)2(0.9)3?0.0729 k(3) P{X?3}??C5(0.1)k(0.9)5?k?0.00856 (4) P{X?3}??C5k(0.1)k(0.9)5?k?0.99954；

k?3k?0530(5) P{X?1}?1?P{X?0}?1?C5(0.1)0(0.9)5?0.40957．

13．进行重复的独立试验，设每次试验成功的概率为p(0＜p＜1），那么失败的概率为q=1－p． （1）试验到出现一次成功为止，求试验次数X的分布律（此时称X服从参数为p的几何分布）． （2）试验到出现r次成功为止，求试验次数X的分布律（此时称X服从参数为r、p的帕斯卡分布）． 解：(1)X服从几何分布，注意当试验次数X＝k时，可看作是在k次独立试验序列中，事件A总在最后一

次成功，从而有： P{A1A2?Ak?1Ak}?qk?1p，k＝1,2,3,?；

(2)X服从帕斯卡分布，当试验次数X＝k时，此时成功次数是r次，且最后一次成功，从而只须考虑在前

?1r?1?1rk?rk－1次中有哪r－1次是成功的，故有P{X?k}?Ckr?，k＝r, r＋1, r＋2,?． ?q(k?1)?(r?1)?p?Ckr?1p1p?q14．某交通道口每天有大量的车辆通过，设在一天的某时间段内发生交通事故的概率为0.000 1，若某天在该时间段内有1 000辆车辆通过，求发生事故次数不小于2次的概率（利用泊松定理计算）． 解：设X表示发生事故的次数，将一辆车通过看作一次试验，事故A发生的概率是0.0001，则X＝k表示在1000次独立试验中，A发生了k次，故X服从二项分布B(n,p)?(1000,0.0001)，由于n太大，p太小，

k利用泊松定理，取np???1000?0.0001?0.1 P{X?2}??C1000pk?(1?p)1000?k

k?21000(0.1)ke?0.1(0.1)0e?0.1(0.1)1e?0.1???1???1?0.90483?0.09048?0.0047．

k!0!1!k?2100015．一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率．（2）每分钟的呼唤次数大于10次的概率．

8?4解：（1）X?P(4)，则P{X?8}?4e?0.02977；由泊松分布表得

8!4ke?4?4ke?4（2）可直接查表得：P{X?10}?4e?0.00284 P{X?8}?????0.051134?0.021363?0.029771）

k!k!k?11k!k?8k?9???k?416．一本300页的书中共有240个错误, 若每个印刷错误等可能地出现在任一页中, 求此书首页有印刷错误的概率．

解：设一页上的错误个数为X，一个错误在300页书中任一页的概率为1/300，共有240个错误，故X～B(n,p)?(240,1/300)，所求概率为 P{X?1}??Ck?1240k240?1????300?k?299?????300?k?1240?k，

k?0.80?0.8240利用泊松定理，取np???240??1?0.8，故近似为P{X?1}??(0.8)e?1?(0.8)e?1?0.4493?0.5507．

300k!0!17．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，若从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出算作试验成功一次．（1）某人随机地挑选，求其成功一次的概率；（2）某人声称具有名酒区分能力，连续试验10次成功了3次．试推断他是否确有区分能力（设各次试验为相互独立，并且概率很小的事件认为基本上

4不会发生）解：（1）甲、乙名酒共8杯，从中取出4杯，基本事件总数为：n?C8，设A＝“成功”＝4“将甲种酒全部挑出”，则有利于事件A的样本数为：m?C4?1，P(A)?m?1?1；

4nC870（2）“试验10次成功了3次”的概率为P?C310?p???q?3710!?1????3!7!?70?3?69?????0.000316， ?70?7这是一个小概率事件，竟然发生了，若不具备区分能力是不可能的，故可认为他确实具有区分能力． 18．某设备在10 000次运行中，平均发生故障次数为10次，求在100次运行中发生故障的概率．

解：由已知条件，可认为设备发生故障的概率约为p?10/10000?0.001． 设事件A表示“在100次运行中不发生故障”，则由泊松定理可得

0 P(A)?C100?0.001?0?0.999?0.10e?0.1100?0!?0.9048 (??np?0.001?100?0.1)，

所以在100次运行中发生故障的概率为：P?1?P(A)?1?0.9048?0.0952．

19．设某产品不能经受疲劳试验的概率为0.001，试求：5 000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验的概率，并比较用泊松分布和二项分布计算的结果．

解：设X是“不能经受疲劳试验的产品个数”，则X?B(n,p)，其中n?5000，p?0.001， 所以“5 000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验”的概率＝P{X?1}

01＝1?P{X?0}?P{X?1}?1?C5000(0.001)0(0.999)100?C5000(0.001)1(0.999)99?0.95964；

?k?5利用泊松定理，取??np?5000?0.001?5，则有P{X?1}??5e?0.959572（查表可得）．

k?2k!可见，当n充分大，而p充分小时，用泊松分布去近似二项分布是比较准确的． 20．设随机变量X的概率密度为

?C,当|x|?1,试确定常数C，并求P{?1?X?1}的概率． ?2f(x)??1?x22?0,其他.???1111?112?1 ?C?,?C? P{??X?}??12f(x)dx??12dx?arcsinx1???22??21?x2?322111解1????f(x)dx???1???1C1?x?1dx?Carcsinx?1221．设随机变量X的概率密度为（1）

0?x?1?x,?21?x2，|x|?1 （2） ??f(x)???f(x)??2?x,1?x?2??0,0，其他?其他?分别求X的分布函数，并作出f(x)和F(x)的图形．

?2x?????0dx?0,?x11?2xf(x)dx???1?x2dx?1?x2?arcsinx?,?1??2???212????11?xdx?1,?x??1解：

F1(x)?P{X?x}??x ；

?1?x?1x?1??

F2(x)?P{X?x}??x???x0dx?0,x?0?????x2?xdx?x,0?x?1 ． ??02f(x)dx??2?1xdx?x(2?x)dx?2x?x?1,1?x?2?1??02?12??xdx??(2?x)dx?1,x?21?0

22．若随机变量X的分布函数为 F(x)?A?Barctanx，－∞＜x＜＋∞，试确定常数A和B，并求出X?1????limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B???0,A????x????的概率密度函数．解：由?x???2 ； ?2?????limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B??1,?B?1??x?????x????21111，－∞＜x＜＋∞．

f(x)?F?(x)?(?arctanx)???2??1?x2?cx3,0?x?1,23．若随机变量X的概率密度为f(x)??（1）确定常数c；（2）求数a使P{X?a}?P{X?a}；

其他.?0（3）求数b，使P{X＞b}=0.01． 解：（1）因为 1??????f(x)dx??cx3dx?01c，所以c＝4； 4?P{X?a}???f(x)dx?14x3dx?1?a41???aa?1?4； （2）显然0＜a＜1，则有 ?a????aa?2??P{X?a}??f(x)dx??4x3dx?a4??0? （3）显然0＜b＜1，P{X?b}????bf(x)dx??4x3dx?1?b4?0.01?b??0.99?b11/4．

24．在区间[0，a]上任意投一质点，以X表示质点的坐标，若该质点落在[0，a]中任意小区间内的概率与该小区间长度成正比，求X的分布函数和P{X≤

a}． 3解：X的分布函数F(x)?P{X?x}，根据题意，当x＜0时，{X?x}为不可能事件，所以

F(x)?P{X?x}?0．当0≤x≤a时，F(x)?P{X?x}?P{0?X?x}?kx，当x＞a时，{X?x}必然

发生，所以F(x)?P{X?x}?P{0?X?a}?ka?1，可推出k?1．

a0,x?0?因此，X的分布函数 ? x P{X?a}?F(a)?1?a?1． ?F(x)??,0?x?a33a33a? ??1,x?a25．设k在（0，5）上服从均匀分布，试求方程 4x2＋4kx＋k＋2=0 有实根的概率．

?1?,0?k?5解：k在（0，5）上服从均匀分布，其密度函数为f(k)??5，

?其他?0,一元二次方程有实根，则判别式应≥0，即??(4k)2?4?4?(k?2)?0?16k2?16k?32?0?(k?2)(k?1)?0 ?k?2,k??1?k?2 所以方程有实根的概率为P{k?2}??3dx?． 2555126．设X~N（3，22）（1）求P{2?X?5}，P{?4?X?10}，P{|X|＞2}，P{X＞3}． （2）确定C使得P{X＞C}= P{X≤C}．

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