概率统计题解（全）(5)

解：将各个情况下的概率相加得：

??11119?0??0???，而二维离散型随机变量分布律具有性质28448??pij?1，可知该学生的计算结果有误．

i?1j?13．一整数X随机地在1，2，3三个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在1~X中取一个值，试求X、Y的联合分布律．

1(k?1,2,3)，由于Y≤X，当X取1时，Y只能取1，3111所以有P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1|X?1}???，显然有

3131P{X?1,Y?2}?P{X?1}P{Y?2|X?1}??0?0，P{X?1,Y?3}?0；

31当X取2时，Y可取1或2， 即 P{Y?1|X?2}??P{Y?2|X?2}?，从而有

21111P{X?2,Y?1}?P{X?2}P{Y?1|X?2}???,P{X?2,Y?2}?，同上P{X?2,Y?3}?0；

3266111以此类推，有 P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?1,Y?3}???；

339解：X和Y均可取1，2，3三个值，且P{X?k}?X和Y的联合分布律为

X Y 1 2 3 1 2 3 1/3 1/6 1/9 0 1/6 1/9 0 0 1/9 222??c(R?x2?y2),x?y?R,4．随机变量（X，Y）的概率密度f(x,y)?? 222x?y?R.??0,（1）求系数c；（2）随机变量落在圆x2＋y2≤r2（r＜R)内的概率． 解：（1）由分布密度性质

??????????f(x,y)dxdy?1，可得

222?01???????????f(x,y)dxdy?x2?y2?R2??c(R?x?y)dxdy?c?R33d??(R??)?d??c?2???c?3

06?RR（2）随机变量落在圆x2＋y2≤r2（r＜R)内的概率为

r332?r222P{(X,Y)|(X,Y)?(x?y?r)}???(R?x?y)dxdy?d??(R??)?d??3(3R?2r)． 3?030?RR?Rx2?y2?r22225．设随机变量（X，Y）在区域D：a≤x≤b，c≤y≤d上服从均匀分布，求X、Y的联合概率密度和X、Y的联合分布函数．

解：（1）由于（X，Y）在区域D上服从均匀分布，而D的面积为(b?a)(d?c)， 有f(x,y)??(b?a)(d?c),a?x?b,c?y?d（2）F(x,y)????0,其他?1??xy????f(x,y)dxdy对的取值范围进行讨论：

1）当x＜a或y＜c时，f(x,y)?0，所以 F(x,y)?0； 2）当a≤x≤b且c≤y≤d时f(x,y)?yx1dx(x?a)(y?c)，F(x,y)??dy?； ?ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)yb1dx(y?c)3）当x＞b，且c≤y≤d时，f(x,y)?，F(x,y)??dy?； ?ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)(d?c)dx1dx(x?a)?，F(x,y)??dy?；

ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)(b?a)4）当a≤x≤b，且y＞d时，f(x,y)?db1dx?1． 5）当x＞b，y＞d时，f(x,y)?，F(x,y)??dy?ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)0,??(x?a)(y?c)?,?(b?a)(d?c)?综上所述，得(y?c)?,F(x,y)??(d?c)??(x?a),?(b?a)??1,?x?a,y?ba?x?b,c?y?dx?b,c?y?da?x?b,y?dx?b,y?d

由于本题中随机变量（X，Y）在矩形域上服从均匀分布，（2）中之3）、4）、5）三种情形都可由2）得到．如3）F(x,y)?P{X?x,Y?y}?F(x,y)?P{X?b,Y?y}?F(b,y)?y?c，类似可得4），5）． d?c6．（1）求第1题中随机变量（X，Y）的边缘分布律（2）求第3题中随机变量（X，Y）的边缘分布律．

解：（1）第1题中随机变量（X，Y）的边缘分布律分别为 X Y 0 1 pi·

0 25/36 5/36 5/6 1 5/36 1/36 1/6 p·j 5/6 1/6 1 X Y 0 1 pi· 0 15/22 5/33 5/6 1 5/33 1/66 1/6 p·j 5/6 1/6 1 （2）求第3题中随机变量（X，Y）的边缘分布律为

Y 1 2 3 pi· X 1 1/3 0 0 1/3 2 1/6 1/6 0 1/3 3 1/9 1/9 1/9 1/3 p·j 11/18 5/18 2/18 1 ?cx2y,7．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)???0,（1）求系数c．（2）求边缘概率密度． 解：（1）同第4题，1?x2?y?1其他

??????????f(x,y)dxdy?x?y?12??cx2ydxdy?c?x2dx?2ydy?c??1x11214，c?；

421 （2） fX(x)???????212?12124??x2xydy,|x|?1?x(1?x),|x|?1， f(x,y)dy????84??0,|x|?1?0,|x|?1? fY(y)???????75?y212???yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 ． f(x,y)dx????24??0,0,其他其他??6，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞． 222?(4?x)(9?y)8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度f(x,y)?求关于X和关于Y的边缘概率密度． 解：fX(x)???????同理fY(y)???????61y2，－∞＜x＜＋∞ ； d?22???2y?(4?x)3(1?()2)3?(4?x)3??61x3，－∞＜y＜＋∞ ． f(x,y)dy?2d??(9?y2)???2(1?(x)2)2?(9?y2)2f(x,y)dy?9．雷达的圆形屏幕的半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上均匀分布，求X和Y的边缘概率密度．

?1222?2,x?y?R222解：（X，Y）在区域D：其联合概率密度为f(x,y)???R， x?y?R上服从均匀分布，

?其他?0,fX(x)???????R2?x21dy?f(x,y)dy????R2?x2?R2?0?x?R?222?2R?x,???R?0,其他?x?R其他，

?222?2R?y,同理可得关于Y的边缘概率密度 fY(y)???R?0,?10．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

y?R其他 ．

?e?y,0?x?y, f(x,y)??其他.?0,（1）求X的边缘密度fX（x）；（2）求概率P{X＋Y≤1}．

解：（1）fX(x)?????????y?x???xedyx?0?e,x?0； f(x,y)dy?????0x?0?0,x?0?（2）P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxedy??(?1)[e?y120?(1?x)?e]dx?1?2e?x?12?e?1．

11．对于下列两组参数写出二维正态随机变量的联合概率密度与边缘密度．

?1 ?2 ?1 ?2 ? （1） 3 0 1 1 1/2 （2） 1 2 1 1/2 0 解：（1）由二维正态分布的联合密度函数形式可知

f(x,y)?12??1?21??2?e?(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2??2?????1?22(1??2)??22???1?1[(x?3)2?(x?3)y?y2]1?23?e,3?1?(x?23)1?y2 fY(y)?fX(x)?ee

2?2?22(2)同理可得f(x,y)?1?e1?[(x?1)2?4(y?2)2]21)2?2(y?2)21?(x?，fX(x)? . ee2，fY(y)??2?21时X的条件概率密度．(2)求条件概21111率密度fY|X(y|x)，特别，分别写出当X=、X=时Y的条件概率密度．(3)求条件概率P{ Y≥| X=}，

324212．在第7题中(1)求条件概率密度fX|Y(x|y)，特别，写出当Y=

?cx2y,31P{ Y≥| X=}．解：(1)由第7题，知f(x,y)??42?0,?75?y2,0?y?1所以当0?y?1时有：fY(y)??2fX|Y(x|y)??0,其他?x2?y?1其他?2124?x(1?x),|x|?1， fX(x)??8?0,|x|?1??212?4xy,f(x,y)?5??72fY(y)?2y??0,x?y其他?32?3?xy2,??2?o,?x?其他y 3??1?32?1?2特别，当Y=时有：fX|Y(x|y?1)??x??,22?2?2?0,?21??32x,x?2????0,其他x?12； 其他?212xy??2y224,x?y?1,x?y?1f(x,y)??4(2) 当?1?x?1时有：f(y|x)?， 21??x2(1?x4)??(1?x)Y|XfX(x)?8?0,其他??0,其他?11?2y?2y8111,?y?1,?y?1?32??y,?y?1y,?y?1 1411?1????944fY|X(y|x?3)??(1?())??3?409fY|X(y|x?)????(1?())??15?0,其他?0,其他2?2??0,其他??0,1(3) P{Y?12?4|X?12}??1f11323212?(Y|X(y|x?2)dy???4?1ydy4)?1， 415152 12?(3)2P{Y?31?4|X?2}??3f?113232Y|X(y|x4742)dy??3ydy?41515?2?15．

13．设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)???1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)．

解：先求边缘密度函数，f????xf(x,y)dy?????x1?dy?2x,0?x?1X(x)????，

??0,其他?1??1?dx?1?y,??1y?0

fY(y)????fx(ydx,?)??y???1?dx?1?y1?,y?， ??1?y0?0,其他??从而当0?x?1时，有：ff(x,y)??1,y?x?1Y|X(y|x)?fx)??，

?2xX(?o,其他??11?y,?1?y?0?当?1?y?1时，有：f(x|y)?f(x,y)??1X|Yf?,0?y?1 ．

Y(y)?1?y??0,其他?4其他

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