概率统计题解（全）(4)

解：X?N(3,22)?X?3?N(0,1)，所以有 2222（1）P{2?X?5}?P{2?3?X?3?5?3}??(1)??(?0.5)??(1)??(0.5)?1?0.5328，

?7X?3 P{?4?X?1?0}P?{?227??}2??(3?.5?)?(3?.?5) 3.5)2，(}10.9996 P{|X?|?2P}X?{??P2X}??{PX?3?2?3X?3?2 32}?{?P?}{2222??(?2.5)?1??(?0.5)?1??(2.5)?1?(1??(0.5))?1??(2.5)??(0.5)?0.6977，

X?33?31 P{X?3?}?1P{???}?(；0 )222（2）P{X?c}?P{X?3?c?3}?1??(c?3)，P{X?c}?P{X?3?c?3}??(c?3)，

222222当P{X?c}?P{X?c}时，有 1??(c?3)??(c?3)??(c?3)?1，查表可知 c?3?0?c?3．

2222227．设X~N（?，?2），令P??X??????k??p（1）当p=0.95，0.90，0.99时分别求对应的k值； ?（2）若P{X???k?}?0.95时，k=？ 解：因为X?N(?,?2)?X????N(0,1)，所以

?X???X??1?p， ??P??k??P??k??k???(k)??(?k)?2?(k)?1?p??(k)??2?????（1）当p=0.95，0.90，0.99时，分别查正态分布表可求得对应的k值如下 ?(k)?1?0.951?0.901?0.99?0.975?k?1.96，?(k)??0.950?k?1.65，?(k)??0.995?k?2.58； 222X????X???（2）P?X???k???P???k??P??k???(k)?0.95?k?1.65． ???????28．某厂生产的电子元件使用寿命X服从参数为?=160和

?2

的正态分布，若要求

P{120?X?20?0}0.，8?最大允许为多少？

??(4040)?0.90??1.28???31.25 ???40X?16040?40解： P?120?X?200??P?????2?()?1?0.80???????29．求标准正态分布的上a分位点（1）a=0.001，求ua；（2）a=0.003求ua和ua．

2解：因为u?是上百分位点，所以有（1）P?X??0.01??1??(?0.01)???0.01??(?0.01)?0.99??0.01?2.33， ?（2）?(?0.003)?1???0.997??0.003?2.75，?(?)?1??0.9985??0.003?2.96． 0.003222?1000x?1000,30．设某元件使用寿命X（小时）的概率密度为f(x)??x2,

? 其他.?0,?现从一大批产品中任取5件，求其中至少有2件寿命大于1 500小时的概率．

2一大批产品中任取5解：元件使用寿命大于1 500小时的概率为P(X?1500)??1000dx??1000??1500x2x15003?件，相当于作五次独立试验，则P｛“至少有2件寿命大于1 500小时”｝＝1－P｛“均不大于”｝－P｛“恰2111012114有一个大于”｝由于P｛“均不大于”｝＝C50()0()5?，P｛“恰有一个大于”｝＝C5， ()()?3324333243所以所求概率为 P?1?1?10?232．

24324324331．若随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，对X进行四次独立观测，求四次中“X取值大于3”至少发?1生一次的概率．解：X?f(x)???3??02?x?5 ，P{X?3}?51dx?2；

?333x?2,x?518002014至少发生一次的概率为：P｛“X＞3至少发生一次”｝＝1－P｛“均不发生”｝＝C4． ()()?1??338181?1?1e5,x?0 32．设顾客在某银行窗口等候服务的时间X（分）服从参数为的指数分布，概率密度为f(x)???55??0,其他x当他在窗口等候的时间超过10分钟就离去，若他一个月去该银行5次，求他在一个月内未等到服务就离去的次数Y的分布律和P{Y?1}．

解：Y的取值为0,1,2,3,4,5，且Y～B(5,p)．先求任一次未等到服务而离开窗口的概率p，据题意

p?P{X?10}????10x1?5k5?kedx?e?2，则Y的分布律是：P{Y?k}?C5k?e?2??1?e?2?,k?0,1,2,3,4,5， 5050P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C5?e?2??1?e?2??0.5167．

33．已知随机变量X的分布律为求：（1）Y=X 2 （2）Z=2X－1；（3）W=|X|＋1的分布律． 解：因为

所以有

Y p X p Y= X 2 Z=2X－1 W=|X|＋1 0 0.3 Z P 1 0.4 －5 0.15 X p －2 －1 0 1 2 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15 －2 －1 0 1 2 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15 4 1 0 1 4 －5 －3 －1 1 3 3 2 1 2 3 4 0.3 －3 0.2 W P －1 0.3 1 0.3 1 0.2 2 0.4 3 0.15 3 0.3 34．若f(x)??（1）Y??2x,0?x?1, 求下列随机变量函数的概率密度和分布函数：

?0,其他.1?X；（2）Z?|X|；（3）T?e． X111，单调减，可导，其反函数x?h(y)??h?(y)??2， xyy解：（1）y?g(x)?且 ??min(g(0),g(1))?1, ??max(g(0),g(1))???，由函数分布的公式有

?f[h(y)]|h?(y)|,fY(y)??X0,?0,??FY(y)??y2??1y3dy,?y?1??y??其他?11,?2???yy2?0,?y?11?y???其他?2,???y3?0,?1?y???， 其他y?1?0,?y??11?y?????2,?y1?0,???11?,1?y???2?y?；

1?y???（2）z?g(x)?|x|???x1?h1(z)?z?xx?0，不是单调函数，其反函数?(z?0)，

?xx?0x?h(z)??z??22且 ??min(g(0),g(1))?0, ??max(g(0),g(1))?1， 则有

?(z)|?fX[h2(z)]|h2?(z)|,??z???f?z??1?f??z??1,0?z?1?2z,0?z?1?fX[h1(z)]|h1X fZ(z)????X??0,其他其他0,其他?0,??（注意fX??z??0(0?z?1)?z0dz,z?0?????0,?z??0FZ(z)???0dz??2zdz,0?z?1??z2,??0?0?1,1z??0dz??2zdz??0dz,z?101?????z?00?z?1z?1

（3）t?g(x)?e?x，单调减，可导，其反函数x?h(t)??lnt?h?(t)??， 且 ??min(g(0),g(1))?1t1, ??max(g(0),g(1))?1， 则有 e??11??2lnt1?2(?lnt)?,?t?1f[h(t)]|h(t)|,??t??,?t?1???， ???fT(t)??Xtee?t0,其他???0,其他0,其他???t?0dt,?????1t?2lnt?FT(t)???e0dt??1dt,??te??11?2lntt?e0dt?1dt?????t?10dt,?e?t?1e0,z?0??1?2?z?1??1??lnt?,0?z?1． e?1,z?1??z?135．若X～N（0，1），试求下列随机变量函数的概率密度（1）Y?2X?1；（2）Y?|X|． 1?h(z)?y?11?22解：（1）y?2x?1，不是单调函数，反函数x????h(z)??1y?12?2?2，

其导数为：h1?(z)?2412,h2(z)??4y?11y?1(y?1)，

?1yy)h]|?(fX)h|2y?fX[h1(故 fY(y)??0,?????????1e???2???12?y?1??22h[?y2(2)y]?|( y?11,y?1)|,12?41?y?10,1e2??1??2????y?1??22?4y?1y?1??1e4,?y?1??2?(y?1)?0,?y?1． y?1?(y)|?fX[h2(y)]|h2?(y)|,?fX[h1(y)]|h1（2）y?|x|，同34题（2），有fY(u)??0,?y(?y)?11?e2?1?e2?1,??2?2??0,?22y?0 y?0?2??y2,y?0????e?0,y?0?2y?0． y?036．若球的直径的测量值在[a,b]上服从均匀分布，求球的体积V的概率密度．

33解：设球的直径为随机变量X，体积为随机变量Y，则Y?4??X???X，X服从[a,b]上的均匀分

??3?2?6?1布，其密度函数为?fX(x)??b?a??0a?x?b而其他y??x3 的反函数是x?h(y)??6y???6???1/3，单调增加，

?6?h?(y)??????1/32a3?b3?1?3,??max(g(a),g(b))?，由分布函数公式 ?y,且??min(g(a),g(b))?663?fX[h(y)]|h?(y)|,??t??fY(y)??0,其他??1?2?1/3?3?1?6?1/31?2a3?b?????y3,?????y3,?t?????b?a???3?b?a?9??66??0,0,其他??2a3?b3??t?66 其他a237．将长度为2a的直线随机地分为两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的概率．

2解：设将直线分为X与2a?X两段，则X随机地在[0,2a]上取值，服从均匀分布，

, f(x)???2aX??0,?10?x?其他a2，

?0,?x?FX(x)??,2a???1,x?00?x?2ax?2a ．

以X与2a?X这两部分为长和宽的矩形可表示为：Y?X(2a?X)?2aX?X2，

222则题目所求为：P{Y?a}?P{2aX?X2?a}?P{X2?2aX?a?0}

222????2?2?2??2?????????PX?a?a?PX?a?a? ?P??X?a?aX?a?a?0????????2?2?2??2?????????????????2?2??1?FX??a?2a???FX??a?2a???1?????a?22aa?a2?2?1?2． 2a2a2第三章 多维随机变量及其分布

1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．

解：因为X和Y的取值都是0和1，故(X，Y)的取值为(0,0)、（0,1）、（1,0）、（1,1）。而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑。（1）有放回抽样，由乘法定理得

1010251025??，P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}??? 12123612123651,P{X?1,Y?1}?类似可得：P{X?1,Y?0}?； 363610915??（2）不放回抽样，由乘法定理得P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?， 121122102551P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}??? 类似可得：P{X?1,Y?0}?,P{X?1,Y?1}?；

1211333366P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?X和Y的联合分布律为

X Y 0 1 0 1 X Y 0 1 0 1 25/36 5/36 5/36 1/36 15/22 5/33 5/33 1/66 2．某学生求出关于二维随机变量X、Y的联合分布律如下表所示：试分析该学生的计算结果是否正确

X Y 0 1 1 2 3 1/2 0 1/8 0 1/4 1/4

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