概率统计题解（全）(6)

?xe?x,x?0,20．设某种商品一周需求量是一个随机变量，其密度为f(x)?? 如果各周的需求量是相互

x?0.?0,独立的，试求两周需求量的概率密度．

解：设各周的需求量分别是X、Y，则两周需求量是Z=X＋Y，由19题可知

fZ(z)?fX?fY =

z?????fX(x)fY(z?x)dx??xe?x?fY(z?x)dx（作变量代换，令z?x?y，可得）

0??z?0z?0?0,z?0?0,?0,?????(z?y)ey?z?fY(y)dy??z???zz??z3?zy?z?y2??(z?y)e?yedy,z?0?e?(zy?y)dy,z?0?ez?0?0??0??6．

21．设随机变量X、Y相互独立，而且X在（0，1）上均匀分布，Y在（0，2）上均匀分布，求Z1=max{X，Y}，Z2=min{X，Y}的概率密度．

x?0?0,?1,0?x?1?解：由已知，X、Y相互独立，且fX(x)??，FX(x)??x0?x?1 ；

0,其他???1x?1y?0?0,1??y?,0?x?2?0?y?2 ； fY(y)??2，FY(y)??2??0,其他?y?2??1（1）FZ1(z)?P{Z1?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}

?0,?z?z???P{X?z}P{Y?z}?FX(z)?FY(z)??2?1?z?2?1?z?00?z?1 ；从而Z的概率密度为

11?z?2z?2?z,0?z?1?1 fZ(z)?FZ?(z)???,1?z?2 ； 22?2其他??0,（2）同理可得FZ2(z)?P{min{X,Y}?z}??1?[1?FX(z)]?[1?FY(z)]

?1?[1?0]?[1?0],??1?[1?z]?[1?z],?2???1?[1?1]?[1?z],?2?1?[1?1]?[1?1],?z?00,?0?z?1??3zz2???,221?z?2?1,??z?2?3??z,0?z?1?f(z)?F(z)? Z2 ． ?2Z20?z?1?其他?0,z?0z?1?2e?(x?2y),x?0,y?022．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??，

其他?0,求随机变量Z?X?2Y的分布函数． 解：如图可知，Z?X?2Y的分布函数为

FZ(z)?P{X?2Y?z}?x?2y?z??f(x,y)dxdy??dy?????z?2y??f(x,y)dx，

zzz?2y?2?2?z?z??x?2y???dy?2edx,z?0?2?(e?2y?e?z)dy,z?0?1?e?ze??0??0??0?0,??0,z?00,z?0??z?0z?0 ．

23．设随机变量X与Y独立，X~N（?，?2），Y在[－?，?]上均匀分布，试求Z=X＋Y的概率密度（计

1算结果用标准正态分布函数?(x)表示，其中?(x)?2?解：因为 fX(x)??x??． edt）

?t221e2???(x??)22?2(???x???) ，FX(x)??(x???)，

?1?,???x??fY(y)??2?， 且X、Y相互独立，利用卷积公式可得

?其他?0, fZ(z)?fX?fY =

?????fX(z?y)fY(y)dy?????1?fX(z?y)dy（作变量代换，令z?y?x，可得） 2??12??z??z??fX(x)dx?z??1z??11z????z????[?fX(x)dx??fX(x)dx]?[FX(z??)?FX(z??)]?[?()??()]． ????2?2?2??? 24．已知随机变量X和Y的联合分布为

（X, Y） P （0, 0） 0.10 （0, 1） 0.15 （1, 0） 0.25 （1, 1） 0.20 （2, 0） 0.15 （2, 1） 0.15 试求：（1）X的边缘分布；（2）X＋Y的概率分布． 解：由已知条件可得

Y 0 1 pi. X 0 0.10 0.15 0.25 1 0.25 0.20 0.45 2 0.15 0.15 0.30 p.j 0.50 0.50 1 所以（1）X的边缘分布为

X P 0 1 2 0.25 0.45 0.30 （2）X＋Y可取值：0，1，2，3，当X＋Y＝0时，P{x?y?0}?P{x?0,y?0}?0.10，当X＋Y＝1，

P{x?y?1}?P{\x?1,y?0\?\x?0,y?1\?P{x?1,y?0}?P{x?0,y?1}?0.25?0.15?0.4

以此类推，可得X＋Y的概率分布为

X＋Y P 0 1 2 3 0.10 0.40 0.35 0.15 第四章 随机变量的数字特征

1．若随机变量X的概率分布为

X pk 求E（X）和D（X）． 解：E(X)?－2 －1 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.4 0.2 ?xkpk?(?2)?0.2?(?1)?0.1?0?0.1?1?0.4?2?0.2?0.3；

k?1255因为：E(X)??xk2pk?(?2)2?0.2?(?1)2?0.1?02?0.1?12?0.4?22?0.2?2.1，

k?1所以由方差公式可得：D(X)?E(X2)??E(X)??2.1?0.32?2.1?0.09?2.01．

2．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击30次，求击中目标次数X的期望和方差．

kkn?k解：随机变量X满足n＝30，p =0.8的二项分布pk?P{X?k}?Cn pq，k=0，1，2，?，30，

2由期望与方差的公式知E(X)?n?p?30?0.8?24D(X)?n?p?(1?p)?30?0.8?0.2?4.8

3．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击一个目标，直到命中目标一次为止，求射击次数的期望和方差．

解：设射击次数为X，则X?k表示前k－1次没有命中，最后一次命中，此时称X服从几何分布，其概率分布为pk?P{X?k}?qk?1p k=1，2，?，∞，其中p?0.8,p?q?1． 所以由期望公式可得E(X)??xkpk??kpqk?1k?1??k?1?p?kqk?1?p?k?1?1?1?q?2?11??1.25； p0.81） ?x?n?（注：这里利用了收敛级数的求和公式：?nxn?1????x?????2n?1?n?1??1?x??1?x?????

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