概率统计题解（全）

第一章 随机事件及其概率

1．写出下列随机试验的样本空间：（1）10件产品中有4件为次品，从中任取3件，记录3件中的正品数； （2）10件产品中4件为次品，每次从中任取一件（取后不放回），直到将次品全部取出时所取的次数； （3）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子出现的点数之和（4）掷一颗骰子两次，记录两次出现的点数； （5）袋中有6个球，分别编号为1，2，3，4，5，6．从中依次任取两球，记录两球的编号；

（6）射击某一目标，记录到击中目标为止射击的次数（7）将一根单位长的细棍，任分为两段，记录各段的长度（8）掷一枚硬币3次，记录“正面”和“反面”出现的情况．

解：（1）Ω={0，1，2，3}（2）Ω={4，5，６，7，8，9，10}（3）Ω={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（4）Ω={（i，j）| i，j =1，2，3，4，5，6}（5）Ω={（i，j）| i，j =1，2，3，4，5，6，且i≠j}（6）Ω={1，2，3，?}（7）Ω={（x，y）|x + y =1，且0

（1）A、B同时发生，而C不发生（2）A、B、C都发生（3）A、B、C都不发生（4）A、B、C至少有一个发生（5）A、B、C至少有一个不发生（6）A、B、C恰有一个发生（7）A、B、C最多有一个不发生（8）A、B、C至少有两个发生（9）A不发生，且B、C至少有一个发生．

解：（1）ABC ；（2）ABC；（3）ABC；（4）A∪B∪C；（5）ABC或A∪B∪C；（6）ABC∪ABC∪（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC；（8）AB∪AC∪BC；（9）A(B∪C)． ABC；

3．掷一枚硬币，令Ai表示“第i次为正面朝上”，i=1，2，3．说明：（1）A1A2A3；（2）A1∪A2；（3）A1A2A3；（4）A1∪A2∪A3。分别表示什么事件．解：（1）“三次均为正面朝上”（2）“前两次中至少有一次反面朝上”（3）“三次均为反面朝上”（4）“三次中至少有一次正面朝上”． 4．设Ω={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7，9}，C={5，6，7，8}．

求（1）AB；（2）A∪B；（3）AB；（4）ABC；（5）ABC；（6）（A∪B）C；（7）A(B?C)；（8）A?B?C． 解：（1）AB={1，3}（2）A∪B={2，4，5，6，7，8，9，10}（3）AB={1，2，3，4，5，7，9}（4）ABC={5，6，7，8，9，10}（5）ABC={1，3，5，6，7，8，9，10}（6）（A?B）C ={5，7}（7）A(B?C) ={2，4，5，6，7，8，9，10}（8）A?B?C= ABC =?．

5．如图，令Ai表示“第i个开关闭合”，i=1，2，?，5，6，试用A1，A2，?，A6表示下列事件：

（1）“系统Ⅰ为通路”； （2）“系统Ⅱ为通路”．

解：（1）A1?A2A3?A4； （2） A1A5?A1A2A3 A4?A6A3A4?A6A2 A5．

6．若A、B为互不相容的事件，且P（A）=0.2，P（B）=0.6，求：（1）P（A∪B）；（2）P（AB）；（3）P（A∪B）；（4）P（AB）；（5）P（AB）．

解：因为A、B互不相容，所以AB＝?，AB＝A－AB＝A（1）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.2+0.6－0＝0.8（2）P（AB）＝0（3）P（A∪B）＝P（A）+P（B）－P（AB）＝1－P（B）＝ 0.4（4）P（AB）＝P（A）＝0.2（5）P（AB）＝P（A?B）＝1－P（A∪B）＝0.2． 7．若P（A）=?，P（B）=?，P（AB）=?．

求：（1）P（A∪B）；（2）P（AB）；（3）P（A∪B）；（4）P（AB）．

解：（1）P（A∪B）＝P（AB）＝1－P（AB）＝1－?（2）P（AB）＝P（B－AB）＝P（B）－P（AB）＝???（3）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝1?????(???)＝1－???（4）P（AB）＝P（A?B）＝1－P（A∪B）＝1－?????． 8．试证：P（AB∪AB）=P（A）＋P（B）－2P（AB）．

证明：P（AB∪AB）＝P（AB）＋P（AB）－P（ABAB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A－AB）＋P（B－AB）＝P（A）＋P（B）－2P（AB）．

9．设A、B、C为3个事件，试证：P（A∪B∪C）=P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（AC）－P（BC）＋P（ABC）．

证明：P（A∪B∪C）=P（A）＋P（B∪C）－P（A（B∪C））=P（A）＋P（B∪C）－P（AB∪AC）

=P（A）＋P（B）＋P（C）－P（BC）－（P（AB）＋P（AC）－P（ABAC） =P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)．

10．已知：P（A）= P（B）= P（C）=有一个发生的概率．

解：因为 P（AB）= P（AC）=0，所以 P（ABC）=0，P（A、B、C至少有一个发生）＝P（A∪B∪C）＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝

11，P（AB）= P（AC）=0，P（BC）=，试求：A、B、C至少

8411115＋＋－0－0－＋0＝． 4448811．假设每个人在12个月份的每个月出生为等可能，求12个人的生日在不同月份的概率．

解：因为每人都有12种可能性，所以基本事件总数为：n?1212，

而所求的是12个人的生日在不同月份，所以有利事件总数为：m?12!， 从而所求概率为：P?m?12!．

n121212．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）4张中恰有2张“K”；（2）至少有2张“K”；（3）4张牌花色各不相同．

解：基本事件总数为：n?C52（1）有利事件是4张牌中恰有2张“K”，总数为：m?C4?C48，所以

22C4C48（2）有利事件是4张牌中至少2张“K”，包含2张，3张，4张的可能性，其总数为：P?14C5242222m?C4C4831?C4C4840?C4C48，所以P222314C4C48?C4C48?C4（3）设想分步骤依次抽取“黑桃”、“红杏”、?4C521111“草花”、“方片”，由乘法原理，有m?C13，所以P?C13?C13?C13314(C13)． ?4C5213．从13张黑桃朴克牌中任取一张，观看后放回，连取3次，求下列事件的概率： （1）“没有同号”；（2）“有同号”；（3）“最多有两张同号”．

1解：本题是放回抽样，基本事件总数为：n?C13??3111（1）“没有同号”，m?C13，所以?C12?C1111C1C11112?111323C12（2）事件“有同号”与事件“没有同号”是对立事件，所以P??1?13?C13?13?1316913237（3）事件“最多有两张同号”与事件“三张同号”是对立事件，而P（“三张同?16916911168号”）＝，所以P3?1?． ?169169169P2?1?P1?1?14．在40件产品中有3件次品，从中任取2件，求（1）“恰有一件次品”的概率（2）“全是次品”的概率（3）“至少有一件次品”的概率（4）“无次品”的概率． 解：基本事件总数为：n2?C4011（1）m（恰有一件次品）＝C37，所以P?C3111C37C337?3?237?2??C4040?392602（2）m（全是次品）＝C3，所以P2C323?21112（3）m（至少有一件次品）＝C37?C3＋C3，?2??C4040?392601119111C37C3?C3237?119所以P（4）事件“无次品”与事件“至少有一件次品”对立,故． P?1?????432130130C4026013015．设10张有奖明信片的尾数为0，1，2，?，9．从中任取3张，求：

（1）“尾数最小的为5”的概率（2）“尾数最大的为5”的概率．

解：基本事件总数为：n?C10（1）有利事件是5已取到，另2张在6,7,8,9中取，m＝C4，所以

22CC41125C（2）同（1），另2张在0,1,2,3,4中取，＝，所以． mP??P??51233C1020C10123216．从0~9中任取4个数(可重复)1.取到的恰有2个数码相同的概率2.取到的至少有3个数码相同的概率

4解：基本事件总数为：n?10（1）有利事件“恰有2数相同”，m＝C4?10?9?8所以

234C4?10?9?84320C?10?9C?1037044（2）同（1），P?P???0.432???0.037. 4441000010000101010217．把10本书任意地放在书架上，求其中仅有的3本外文书排放在一起的概率．

解：将3本外文书放在一起，有3！种排列方式，再将3本外文书看成1本书，与其它7本书一起，有8！

8!3!61种排列方式，而总的可能性为n?10!所以 P???．

10!901518．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，从两袋中分别任取一球，求两球颜色相同的概率．

解：记A1、A2、A3分别是“从甲袋中取出白球、红球、黑球”则P(A1)?3/25，P(A2)?7/25，P(A3)?15/25 另记B1、“从乙袋中取出白球、红球、黑球”， 则P(B1)?10/25，B2、B3分别是P(B2)?6/25，P(B3)?9/25 显然A1、A2、A3互不相容，B1、B2、B3互不相容，所以有P（“两球颜色相同”）＝P(A1B1?A2B2?A3B3)

?P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)＝

31076159207． ??????25252525252562519．某地铁车站每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，求一乘客候车时间不超过3分钟的概率．

解：几何概型问题。设x表示候车时间，则x可取[0,5]内的任意值，故总的可能区域G的度量为5，令

A表示乘客候车时间不超过3分钟，则有利事件中0≤x≤3，其A的度量为3，所以有乘客候车时间不

超过3分钟的概率P?3?0.6． 520．在（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率：

（1）两数和小于1.5 （2）两数积小于0.25 （3）两数中最大者小于0.5 （4）两数中最小者小于0.5． 解：令x,y分别表示任取的2个数，则0＜x＜1，0＜y＜1, 样本空间为 ??{?x,y? |0?x?1,?0y，其度量如图中正方形区域；?1}（1）令A表示“x?y?1.5”，则A的面积有如图a中阴影部分，所以P(A)?7?0.875 8（2）令B表示“x?y?0.25”，则B的面积有如图b中阴影部分，所以

P(B)?1?0.25??0.25dx0.25x?0.5966；

1?112?0.25 86（4）令D表示“min(x,y)?0.5”，则D的面积有如图d中阴影部分，所以P(D)??0.75

8（3）令C表示“max(x,y)?0.5”，则C的面积有如图c中阴影部分，所以P(C)?

21．将长度为a的棒任折为3段，求它们能构成三角形的概率．

解：取此棒长为数轴，折断点的坐标为x,y，则必有0?x?a,0?y?a这相当于xy平面中的点(x,y)落于边长为a的正方形中，故所有基本事件可以用此正方形??{?x,y?|0?x?a,0?y?a}面积来表示． 所谓能构成三角形，即任意两边之和应大于第三边，所以有利事件的度量为x?y?a，即2y?aaaaaa?x?y?，注意两种可能性：①x??y?，②y??x?故事件“能构成三角形”的实2222222?0.25． 8（另解）设三段长度分别为x,y，a?x?y，

际度量有如图a中阴影部分，所以P?则??{?x,y?|x?0,y?0,0?x?y?a}，

?x?y?a?x?y?x?y?a/2??有利事件取值?x?a?x?y?y??y?a/2，其实际度量有如图b中阴影部分，故事件“能构成三?y?a?x?y?x?x?a/2??角形”的概率为P?1?0.25． 422．已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（A | B）=0.32，求：P（A∪B）；P（AB）；P（A?B）；P（AB）． 解：P（AB）＝P（B）P（A | B）＝0.4×0.32＝0.128 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）=0.3＋0.4－0.128＝0.572 P（A?B）＝1－P（A∪B）＝1－0.572＝0.428 P（AB）＝1－P（AB）＝1－0.128＝0.872 23．设P（A）=a，P（B）=ｂ（ｂ＞0），证明

a≥P（A | B）≥a?b?1． bb证明：P（A | B）＝P(AB)，由于P（AB）≤P（A）且 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）≤1

P(B)

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