概率统计题解（全）(10)

所以合格的概率为 P{2?0?1T??20?1P}?T?{21?20P2?1T}??{19?}?2.5?1920 ()2.5()?2?(1)?1?2?(0.63)?1?2?0.7357?1?0.4714． 2.5?m3．计算器在进行加法运算时，四舍五入产生的误差在(?0.5?10取m=0，

，?0.5?10?m）上服从均匀分布，若

（1）求：1 500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率；

（2）最多可有多少个数相加才能使误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解：设Xi是取整误差，则Xi、Xj相互独立，且Xi服从(－0.5，0.5)上的均匀分布，

?0.5?(?0.5)??1，误差总和 T?0.5?(?0.5)，D(X)?E(Xi)??0i21212由中心极限定理

15001500i?12?Xi．

i?1n （1）当n=1500时，E(T)??E(Xi)?0，D(T)?i?1?D(Xi)?1500， 12??15?T?0?

P{T?15}?1?P{T?15}?1?P{T?15}?1?P???150012150012????????15?1??2???1??1????2??1.3416??1???0.1802． ?????150012??? （2）由P{T?10}?0.90?2???10??10??1?0.90????0.95，

?n12???n12??????2 查表得

10?10??1.64?n?12??即最多可有446个数相加才能使误差总和的绝??446.16，n12?1.64?对值小于10的概率不小于0.90．

4．进行独立射击，每次命中率为0.1，试求500次射击中，命中次数在49~55次之间的概率． 解：设Xi表第i次射击，命中取1，不命中取0，则Xi、Xj相互独立，且Xi服从

p?0.1的二点分布，E(Xi)?p?0.1，D(Xi)?pq?0.09，命中总次数为 T??Xi，

i?1n现求P{49?T?55}．由中心极限定理

?55?500?0.1??49?500?0.1??5???1?P{49?T?55}????????????????

?500?0.09??500?0.09??45??45? ???0.75?????0.15??0.7734?(1?0.5596)?0.333．

5．设Xi（i=1，2，?，50）是相互独立的随机变量，且它们都服从参数?=0.03的泊松分布，记Z?利用中心极限定理求P{Z≥3}．

解：E(Xi)???0.03，D(Xi)???0.03，由中心极限定理 P{Z?3}?1????Xi?150i，

?3?50?0.03???1???1.225??1?0.8888?0.1112．

?50?0.03?6．设每个零件的重量为随机变量，它们相互独立同分布，其期望值均为0.5克，方差为0.01平方克，求5 000个零件总重量超过2 510克的概率．

5000解：设Xi是第i个零件的重量，则E(Xi)?0.5，D(Xi)?0.01，总重量T?由中心极限定理

P{T?2510?}??1??Xi，

i?1?50?00?0.5?25101?????500?00.01??1.41?4??． 0.07871?0.92137．（1）某系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为使整个系统正常运行，必须有至少85个部件正常工作，求整个系统能运行的概率；

（2）若系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性为0.9，且必须有至少80%的部件工作才能使整个系统运行，当n为多少时，才能使系统的可靠性不低于0.95？

解：（1）设X为100个部件发生损坏的个数，则有X?B(100,0.1)，由德莫弗－拉普拉斯定理，X近似服从正态分布 N(100?0.1,100?0.1?0.9)?N(10,9)，系统正常运行，必须有至少85个部件正常工作，即 X?15，从而其概率为 P{X?15}????15?10??7????1.?69??； 250.95（2）设X为n个部件中发生损坏的个数，系统正常运行，必须X?n?20%，则有 P{X?0.n2?}n?n?0.?0.2?10.?95????n?0.09?? 0.95

?n?n2????0.95??1.65?n?3?1.65?24.5． ????3?3?? 故当n为25时，才能使系统的可靠性不低于0.95． 8．掷一枚均匀的硬币100次，求出现正面数大于60的概率．

解：设X为100次抛掷硬币中出现的正面次数，则有X?B(100,0.5)，由德莫弗－拉普拉斯定理 P{X?60?}?1??00.?60?10??5?????1?0.?50.?100?52???10.9?772．0. 02289．进行50次独立的重复试验，假定每次的成功率为0.1，令X表示50次试验中成功的次数，求

P{X?3}．比较用二项分布、泊松逼近和正态分布逼近的结果．

解：(1)利用二项分布计算：X?B(50,0.1)，则

?P{X?1}?P{X? P{X?3}?P{X?0}0050 ?C5(0.1)(0.9?)C51002?}PX{?

2483(0.?1)C(50.09)31(0.1)4(?90.C9)250

(0.1)(0.9)2 ?0.005?0.02?860.?0779?0.1386；

(2)利用泊松分布计算：X?B(50,0.1)，取??np?50?0.1?5，则有

5ke?5 P{X?3} 265??1???10.734?974；0.k?4k!? (3) 由德莫弗－拉普拉斯定理利用正态分布计算：

X近似服从正态分布N(50?0.1,50?0.1?0.9)?N(5,4.5)，所以有 P{X?3}????3?5??????0.943??1?0.8264?0.1736．

?4.5?10．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率．

解：设X为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X服从二项分布B(500,0.006)，由题设，保险公司1年的收益为 Y?500?800?50000?X，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为 P{Y?20000?0}P{5?00?8005?0X00?0，2?0P00X00?}

从而由德莫弗－拉普拉斯定理 P{X?4}???4?50?00.006???????0.0?060.?500?994??1??9????0.5?7?2.982．0.7 19

概率统计（统计部分）习题解答 习题六

1、解：因为Xi（i=1，?，1）不是同分布，故X1?X10不是简单随机样本

2、解：因为Xi（i=1，?，10）不一定是相互独立的，故不一定是简单随机样本 3、解：因为X5+2P含有未知参数，故不是统计量，其余5式均为统计量 4、解：先对100个数据进行分组，造表、然后作图

*（1）最小值x1?332，最大值x100?356

*（2）选取a?330?x1，b?360?xn，组距△ti=5，组数m=6

**（3）作出频数统计表

组别 330~334 频数Vi 2 频率fi 0.02 yi?fi 52/500 335~339 340~344 345~349 350~354 355~360

32/500 32/50 y 0 300/500

15/50

0 9/500 15 30 32 9 2 0.15 0.30 0.32 0.09 0.02 15/500 30/500 32/500 9/500 2/500 频率/组距 组距

2/500

0 330 335 340 345 350 355 360 x

***5、解：x1?x2??x8??2??1?1?1.5?2?2?2.8

样本分布函数

?0?10?x??2?18?2?x??1??14?1?x?1?F8(x)??381?x?1.5

?581.5?x?2??782?x?2.8?x?2.8?1???50.8?52X?521.8???6、解：?50.8?X?53.8???? 6.36.361.05??36???? 7、解：?X?80?3

??(1.71)?(1??(1.14))?0.9564?0.8729?1?0.8293

???X?80?3???1????? 20102010?????1???(1.5)??(?1.5)??2?1??(1.5)??2?(1?0.9332)

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