数值分析复习资料(9)

18. (a)

(f,g)?(g,f)??f'(x)g'(x)dxab，

b(cf,g)?c(f,g)?c?f'(x)g'(x)dxabb，c为常

(f?f,g)?(f1,g)?(f2,g)??f'1(x)g'(x)dx??f'2(x)g'(x)dx(f,f)?0aa数，12，，

a但当f(x)?c时，(f,f)?0,不满足定义，所以不构成

(f?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，

内积。（b）(f,g)?(g,f)，(cf,g)?c(f,g)，1(f,g)??f'(x)g'(x)dxb(f,f)?0且当且仅当f(x)?0时(f,f)?0，满足定义，所以(f,g)构成内积。

61x116x1112?01?xdx?(?0(1?x)2dx)(?0xdx)?26?0.196116?01?xdx?1???0xdx19. ，，

61x11?0.0714286??dx??0.14285701?x7其中0???1，则14，由此可知用积分

1611121212中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。 12221222(x?ax)dx??ax?axdx??135，a?0时最小。??120. 在a?1时，值为2121a?2?a?33a，a?1时，值为1，a??1时，值为33a2，a?1时最小。

1122a?1,b??(x?ax?b)dx6，误差为21. 要使?0最小，由拉格朗日乘子法可解得

1121001012??(x?ax?bx)dx180，要使?0最小，由拉格朗日乘子法可解得

20097992009294a?,b??53565356，误差为??0.164063，前者误差小。

22.

也为偶函数，则?0最小，由拉格朗日乘子法可解得

1510595a??0.1171875,b??1.640625,c????0.820312512864128。

?1上均为偶函数，

x1(x?a?bx2?cx4)2dx，和差化积得证。

11(f,P0)??sinxdx?0?1224. 由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知，

1311(f,P2)??(x2?)sinxdx?0?1222，将原函数在此积分区间上按勒让德多项式

1111(f,P)?xsinxdx?8sin?4cos?0.3250741??1222三次展开就可以求得，

153111(f,P3)??(x3?x)sinxdx?236cos?432sin??0.00234807?122222，代入可

23.

*3S(x)?0.487611P(x)?0.00821825P(x)?0.499938x?0.0205456x313得，均方误

un?1(x)?un?1(x)?sin?(n?2)arccosx??sin?narccosx?1?x2?2xun(x)差为

?n2137?122????sin2xdx?(f,P)?(f,P)?2.4487?10?413?222??1?12。

21f(x)Tk(x)2?1***C?dx??cosk?d?f(x)?C0??CkTk(x)k??2?10??21?xk?125. ，其中。

?????10a?10654b?542.8?0?10654a?14748998b?738643.0?026. ?a，?b，解方程得a?4.00955,b?0.0471846，均方误差??13.0346。

?227. 经验公式为s?at?bt，最小二乘法解得a?2.31346,b?10.65759，运动方

程为s?2.31346t?10.65759。 28. 经验公式为y?t/(at?b)，最小二乘法解得a?0.160744,b?3.17914，浓度与时间的函数关系为y?t/0.160744t?3.17914。

229.输入初始节点x0,x1,?,xm，权函数?(x)?0及正交多项式次数n。 k?0,Pk(x)?1，计算?k?1,?k,Pk?1(x)。 判断k?n 否 是 计算?k?1,?k,Pk?1(x),?*k?1。 令k?k?1 nF(x)???*kPk(x)k?0

p输入初始数组{xk}，等分点数N?2。 q?1，计算?m,m?0,1,?,(N/2)?1。 判断q?0(mod2) 否 是 qA(k2?j)，2计算qA(k2?j)，1计算A2(k2q?j?2q?1)，k?0,1,?,2p?q?1，j?0,1,?,2q?1?1。 令q?q?1 A1(k2q?j?2q?1)，k?0,1,?,2p?q?1，j?0,1,?,2q?1。 否 判断q?p 是 判断q?0(mod2) 否 是 Cj?A2(j),j?0,1,?,N?1 30.

Cj?A1(j),j?0,1,?,N?1 ?Ck??xjexp(ikj)?0?1,?1?2?i2,?2?i,?3??2?i24，j?02222，C0?16，31.

C1?4?22，C2?0，C3?4?22， C4?0，C5?4?22，C6?0，

7C7?4?22。

第四章 数值积分与数值微分习题参考答案

2f(x)?1,x,x1. 1) 公式可对均准确成立，即

??A?1?A0?A1?2h???hA?1?hA1?0?2?h2A?1?h2A1?h33 ?h4A?1?A1?,A0?h33，具有3次代数精度。 解得

84A?1?A1?h,A0??h33，具有3次代数精度。 2)

,x2?0.62660,或x1?0.68990,x2??0.12660. 3) x1??0.28990具有2次代数精度。

1??12，具有3次代数精度。 4)

11234567T8?[f(0)?2(f()?f()?f()?f()?f()?f()?f())?f(1)]2?888888882. 1) 1?[0?2(0.0311?0.0615?0.0906?.01176?0.1644?.1836)?0.2]16 ＝ ＝0.1114

11357123S4?[f(0)?4(f()?f()?f()?f())?2(f()?f()?f())?f(1)]6?48888444 1?[0?4(0.0311?0.0906?0.1423?0.1836)?2(0.0615?0.1176?0.1644)?0.2] 24 ＝0.1116

2) T10?1.3915

S?1.4547

5 3) T4?17.2277 S2?17.3222 4) T6?1.0356

S3?1.0358 3. 柯特斯公式为

b?aC?[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]90.

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