数值分析复习资料(8)

xi f(xi) 一阶均差 二阶均差 0 0 1 1 1 2 1 0 -1/2 p(x)?p(x0)?(x?x0)f[x0,x1]?(x?x0)(x?x1)f[x0,x1,x2]

?(A?Bx)(x?x0)(x?x1)(x?x2)

?0?x?x(x?1)(?1/2)?(A?Bx)x(x?1)(x?2)

31A??,B?,44 又由 p?(0)?0,p?(1)?1, 得

x2p(x)?(x?3)2.4所以 b?ah?,xk?a?kh.n19. 记 则

x?xi?1x?xi?f(xi??1),x?[xi,xi?1].xi?xi?1xi?1?xi

因为f(x)?C[a,b]，所以f(x)在[a,b]上一致连续。

b?ah???n?Nn当时，，此时有

?n(x)?f(xi)

?x?xx?xi??maxmaxf(x)??f(xi)i?1?f(xi?1)?0?i?n?1xi?x?xi?1x?xx?xi?1ii?1i??a?x?b0?i?n?1xi?x?xi?1max|f(x)??n(x)|?maxmax|f(x)??n(x)|

x?xx?xi?maxmax[f(x)?f(xi)]i?1?[f(x)?f(xi?1)]0?i?n?1xi?x?xi?1xi?1?xixi?1?xi

xi?1?xx?xi????.0?i?n?1xi?x?xi?1xi?1?xixi?1?xi

由定义知当n??时，?n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。 ?maxmax?20. Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上表示为

x?xk?1x?xkIh(x)?fk?fk?1,(xk?x?xk?1).xk?xk?1xk?1?xk

计算各值的C程序如下： #include\#include\float f(float x)

{ return(1/(1+x*x)); }

float I(float x,float a,float b) {

return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));

}

void main() { int i;

float x[11],xc,xx; x[0]=-5;

printf(\ for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=x[i-1]+1;

printf(\ }

for(i=0;i<10;i++) { xc=(x[i]+x[i+1])/2; I(xc,x[i],x[i+1]);

printf(\ }

for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2; f(xx);

printf(\ } }

21. Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上为

Ih(x)?(xk?1?xk)2h2|R(x)|?|Ih(x)?f(x)|?|x?(xk?1?xk)x?xkxk?1|??.44

3?f(x)?4x, 则Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上表示为 22.

2x?xk?12x?xk2xk?xk?1?(xk?1?xk)x?xkxk?1.xk?xk?1xk?1?xk

?x?xk?1?Ih(x)???x?x??k?1??k22?x?xk?1?2??xk?1?xk??4?x?xk??xk???x?xk??k?12????2?x?xk?1?4??1?2???xk?1x?xkk?1??xk?1?xkh42xk?1?xk2?4!?(?xk)(?xk?1)4!?.2216

23. h1?x2?x1?0.05, h2?x3?x2?0.09,

?x?xk?1??x?xk?33????4??(x?x)x?4?(x?x)xkkk?1k?1.?x?x??x?x?k?1?k??k?k?1|R(x)|?|f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!|

h3?x4?x3?0.06, h4?x5?x4?0.08.

hi?1?i?hi?hi?1

6?yi?1?yiyi?yi?1??????hi?hi?1?hi?1hi?

则三次样条插值函数表达式为

?i?mi?1mymym(xi?x)3?i(x?xi?1)3?(i?1?i?1hi)(xi?x)?(i?ihi)(x?xi?1)6hi6hihi6hi6,S?(0.53)?0.6868，得 i) 由S?(0.25)?1.0000Si(x)??1?0.6429,?2?0.4,?3?0.5714

?0?6(f[x0,x1]?1)??0.276，?1??4.3157,?2??3.264,?3??2.43

关于m0,m1,m2,m3,m4的方程组为

2f(x)?C[a,b],所以 24. i) 因为右＝?abababba?4?6(0.6868?f[x3,x4])??0.1692

[f??(x)?S??(x)]2dx?2?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dx

??{[f??(x)?S??(x)]2?2S??(x)[f??(x)?S??(x)]}dx??(f??(x)2?S??(x)2)dx＝左。

ii) 由于S(x)为三次函数，故S???(x)为常数，又f(xi)?S(xi)，则

?xi?1xi[f?(x)?S?(x)]dx?0b，所以

nxi?1i?0xi?aaS??(x)[f??(x)?S??(x)]dx???S??(x)[f??(x)?S??(x)]?S???(x)[f?(x)?S?(x)]dx??[S??(x)(f??(x)?S??(x))?S???(x)(f?(x)?S?(x))]dx?S???(b)[f?(b)?S?(b)]?S???(a)[f?(a)?S?(a)]。

b

第三章 函数逼近与计算习题参考答案

1. (a) 区间变换公式为

x'?(b?a)x?a,x?nx'?ab?a，代入原公式可得新区间里的伯

kx?akkBn(f,x)??f((b?a)?a)Pk(),Pk(x)?Cnx(1?x)n?knb?ak?0恩斯坦多项式为;

23x2x263x22x8x3B1(f,x)?x,B3(f,x)?(1?)?(1?)?32??????，相应的麦克劳(b)

1313P(x)?x,P(x)?x?xR(x)???0.6459641316，部分和误差则为48林级数分别为，

1R3(x)??5?0.07969263840，大于伯恩斯坦多项式的误差。

nkm?m?Pk(x)??f()Pk(x)?Bn(f,x)?M?Pk(x)?Mm?f(x)?Mnk?0k?0k?02. ，故，

nnkkkn?kk?1k?1Bn(f,x)??Cnx(1?x)?x?Cn(1?x)(n?1)?(k?1)?x?1xk?0nk?1当f(x)?x时，。

nn3.

sin4x?0?1若有

，对任意不超过6次的多项式g(x)，在

x?(2k?1)?,k?1,8,8时，

g(x)?sin4x?10,2??，则g(x)在?上至少有7个零点，这与g(x)不超过

，g(x)?0就是所求最佳一致逼近多项式。

6次矛盾，所以

g(x)?sin4x?1?(f,g)?max(M?c,m?c),M?maxf(x),m?minf(x)g(x)?ca?x?ba?x?b4. 设所求为，，

a,b由47页定理4可知g(x)在??上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别

1M?c??(m?c),c?(M?m)2为f(x)的最大值和最小值处，故由可以解得

1g(x)?(M?m)2即为所求。

5. 原函数与零的偏差极大值点分别为

x?3a3a33a,x?1()?a()?a?1333，故，

解方程可得出唯一解

222a1??0.636620cosx?x2?arccos?0.880689,f(x2)?0.771178??，?6. ，故得，f(x2)xa0??a12?0.10525722，故所求最佳一次逼近多项式为

a?34。

P1(x)?0.636620x?0.105257，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为

0?x?maxsinx?P1(x)?P1(0)?0.105257?2。

x2a?e?1?1.71828e?e?1可以解得x2?0.541325，f(x2)?1.71828，17. ，故由

1?f(x2)xa0??a12?0.89406722则有，故所求最佳一次逼近多项式为

P1(x)?1.71828x?0.894067。

8. 切比雪夫多项式在

??1,1?上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的

111p(x)?T2(x)?x2?r??2。 22，解得唯一解 常数倍，

9. 作变换

x?11153119?tg(t)?t4?t3?t2?t?22代入f(x)得1682816，则g(t)在

三次最佳逼近多项式为15251173S(t)?g(t)?T3(t)?t3?t2?t?1288168128，作逆变换t?2x?1代入S(t)，

5211293P(x)?5x?x?x?0,144128。 则f(x)在??上的三次最佳逼近多项式为

***2T(x)?T(2x?1)?1T(x)?T(2x?1)?2x?1T(x)?T(2x?1)?8x?8x?1，00112210. ，，

??1,1?上的

T3*(x)?T3(2x?1)?32x3?48x2?18x?1，其中x??0,1?。

x?x22k?1xk?cos?(k?1,2,3,4)T(x)812. 用4的4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为L3(x)??0.0524069?0.855066x?0.0848212x2?0.0306032x3。

11.

00xnxx???1,1?f(x)?ef(x)?e13. ，则有，其中。由拉格朗日插值的余项表达公

?1*Tn*(x)Tm(x)x?x2dx??1Tn(2x?1)Tm(2x?1)dx??12Tn(x)Tm(x)dx*2?12T(x)??n1?x，故正交。

1可得出，令

e?1e?n?,??n(n?1)!2n(n?1)!2n，则待证不等式成立，得证。

1511651?(x)?M(x)?T(x)?T5(x)5,34?1,1??384838401614. 由泰勒级数项数节约，在上有，

即

1511651183321219931101T4(x)?T5(x)??x?x?x?3848384016102412840961096151165131max?(x)?M5,3(x)????0.00756836?1?x?138483840164096其中误差限为。 115115f(x)?sinx?x?x3?x?P5(x)?x?x3?x61206120为f(x)的近似，15. ，取

1maxf(x)?P5(x)??0.0001984137!误差限为?1?x?1，再对幂级数的项数进行节约

M5,3(x)??(x)?式

f(x)?Ln(x)fn?1(?)e???nTn?1(x)(n?1)!2(n?1)!2n就

到原函数的3次逼近多项

115383M5,3(x)?P5(x)?T5(x)??x3?1201632384，其误差限

111maxf(x)?M5,3(x)???0.000719246?1?x?17!12016，即为所求

*可以得式为

??a,a?上的奇函数时，设Fn(x)为原函数的最佳逼近多项式，则16. 当f(x)为

***Fn*(x)?f(x)?En?F(?x)?f(x)?F(?x)?f(?x)?En?F(?x)nnn，对有，所

*?F(?x)也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，n以

?Fn*(?x)?Fn*(x)，即?Fn*(?x)是奇函数。同理可证，当f(x)为??a,a?上的偶

*F(x)也是偶函数。 n函数时，最佳逼近多项式

17.

4，为使均方误差最小，

?3?2?296?24?8??24a?,b?a?b?2?0,a??b?2?0?3?2。 44则有12，解得

??ax?b?sinx?20?2dx??324a?2?2b?2?24ab?2a?2b??

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