数值分析复习资料(4)

1. (a)利用区间变换推出区间为

(b)对

马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

?a,b?的伯恩斯坦多项式.

f(x)?sinx在?0,?/2?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的

m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.

(a)当m?f(x)?M时,

?0,2??的最佳一致逼近多项式.

3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在

?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.

4. 假设f(x)在

5. 选取常数a,使

maxx3?ax0?x?1达到极小,又问这个解是否唯一?

?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

6. 求f(x)?sinx在

x?0,1?上的最佳一次逼近多项式. f(x)?e7. 求在

p(x)?x2?r??1,1?r8. 如何选取,使

4在

上与零偏差最小?r是否唯一?

?0,1?上求三次最佳逼近多项式.

9. 设f(x)?x?3x?1,在

310. 令

Tn(x)?Tn(2x?1),x??0,1?***T(x),T(x),T(x),T3(x). 012,求

11. 试证

?T*n(x)?是在

?0,1?上带权

??1x?x2的正交多项式.

?1?1,1??f(x)?tgx的三次近似最佳逼近多项式. 12. 在上利用插值极小化求1

x??1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13. 设f(x)?e在

?有界,

证明对任何n?1,存在常数

?n、

?n,使

?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).14. 设在上

多项式并估计误差. 15. 在16.

??1,1??(x)?1?11331541655x?x2?x?x?x28243843840,试将?(x)降低到3次

??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

f(x)是??a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项

?202*F(x)?Hn也是奇(偶)函数. n式

?ax?b?sinx?dx?ba17. 求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

g(x)?C1?a,b?f(x)18. 、,定义

(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb 问它们是否构成内积?

1

x6dx?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间

为

?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11???span?1,x?,?2?span?x100,x101?.

,分别在

?1、?2上求出一个元素,使得其

x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.

1??1,1?上,求在?22. 在

sin?(n?1)arccosx?u(x)?f(x)?xn?span?1,x2,x4?上的最佳平方逼近.

23.

1?x2是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

un?1?x??2xun?x??un?1?x?f(x)?sin24. 将

逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

.

1x2在??1,1?上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方

??1,1?上展成切比雪夫级数.

25. 把f(x)?arccosx在

2y?a?bx26. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.

xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 0.9 1.9 时间t(秒) 0 3.0 3.9 5.0 110 10 30 50 80 距离s(米) 0 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 10 15 20 25 30 35 40 45 时间 0 5 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 50 4.62 55 4.64 用最小二乘拟合求y?f(t).

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录

?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱

,7).

?Ck?(k?0,1,第四章 数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具

有的代数精度:

(1)?h?h2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h); ;

(2)?(3)??2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?1f(x)dx??f(?1)?2f(x1)?3f(x2)?/3;

(4)02. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

?hf(x)dx?h?f(0)?f(h)?/1?ah2?f?(0)?f?(h)?1?x2.

xdx,n?8?04?x2(1); (2)

1(1?e)?0xdx,n?10;

1(3)13. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度. 4. 用辛普森公式求积分0并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:

?9?xdx,n?4; (4)?60?sin2?dx,n?6.

?1e?xdxf?(?)(b?a)2?a2(1); bf?(?)2f(x)dx?(b?a)f(b)?(b?a)?a2(2);

ba?bf?(?)f(x)dx?(b?a)f()?(b?a)3?a224(3).

bf(x)dx?(b?a)f(a)?6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n??时收敛到积分7. 用复化梯形公式求积分a不超过?(设不计舍入误差)?

?baf(x)dx.

?bf(x)dx1,问要将积分区间

?a,b?分成多少等分,才能保证误差

?528. 用龙贝格方法计算积分

??e0?xdx,要求误差不超过10.

?cS?a?21?()2sin2?d?0a9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里a是椭

圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R?6371公里为地球半径,则a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.我国第一颗

人造卫星近地点距离h?439公里,远地点距离H?2384公里,试求卫星轨道的周长.

n10. 证明等式

法求?的近似值.

nsin?????33!n2??55!n4?试依据nsin(?/n)(n?3,6,12)的值,用外推算

11. 用下列方法计算积分

(1) 龙贝格方法;

(2) 三点及五点高斯公式;

(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.

?31dyy并比较结果.

f(x)?12. 用三点公式和五点公式分别求

差.f(x)的值由下表给出: x 1.0 1.1 1(1?x)2在x?1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误

1.2 1.3 1.4 f(x) 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736 第五章 常微分方程数值解法

?1. 就初值问题y?ax?b,y(0)?0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达

y?式，并与准确解

2. 用改进的尤拉方法解初值问题

12ax?bx2相比较。

?y??x?y,0?x?1;??y(0)?1,

x取步长h=0.1计算，并与准确解y??x?1?2e相比较。

3. 用改进的尤拉方法解

?y??x2?x?y;??y(0)?0,

?x2y(0.5)y??e?x?x?1相比较。 取步长h=0.1计算，并与准确解

4. 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

?y??y?0;??y(0)?1,

n?2?h?yn???,?2?h?

?xy?eh?0并证明当时，它原初值问题的准确解。

5. 利用尤拉方法计算积分

??y??x?y,0?x?1;?y(0)?1, 1）? ?y??3y/(1?x),0?x?1;?y(0)?1. 2）?

x0etdt2在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。

6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：

h?y?y?(K2?K3);n?n?12??K?f(x,y);nn?1?K2?f(xn?th,yn?thK1);???K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：

h?y?y?(K1?3K3);n?n?14??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?233??K?f(x?2h,y?2hK);3nn2?33?1）

h?y?y?(2K1?3K2?4K3);n?n?19?K?f(xn,yn);??1?hhK?f(x?,y?K1);nn?222??K?f(x?3h,y?3hK).3nn2?44?2）

9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

?xh?0.2,y?0,y?0.181,y(1.0)y?1?e01取计算并与准确解相比较。

?10. 证明解y?f(x,y)的下列差分公式

y??1?y,y(0)?0,

yn?1?是二阶的，并求出截断误差的首项。

11. 导出具有下列形式的三阶方法： 12. 将下列方程化为一阶方程组：

1h??1?yn??3yn??1)(yn?yn?1)?(4yn24

??b1yn??1?b2yn??2).yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn

y???3y??2y?0,?1）y(0)?1,y(0)?1;

y???0.1(1?y2)y??y?0,?2）y(0)?1,y(0)?0;

xy??,y(t)??,r?x2?y2,33rr3） ?? x(0)?0.4,x(0)?0,y(0)?0,y(0)?2.

x??(t)??13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题

??14. 对方程y?f(x,y)可建立差分公式

试用这一公式求解初值问题

?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.

yn?1?2yn?yn?1?h2f(xn,yn),

验证计算解恒等于准确解

?y???1;??y(0)?y(1)?0,

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