数值分析复习资料(3)

第六章 常微分方程的数值解法（差分法）

1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分 2）Euler公式：??y(xn?1)?y(xn?1)?hf(xn,y(xn))

?y0???y(xn?1)?y(xn?1)?hf(xn?1,y(xn?1))Euler隐式?（1阶）

y???0h?y(x)?y(x)?(f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn?1)))?n?1n?1改进的Euler公式?（2阶精确解） 2??y0??3）截断误差和P阶精确解：截断误差Tn?1?O(hP?1) 4）S级Runge-Kuta法

s??yn?1?yn?h?biki?i?1 c1?0,?1j?0k,1?f(x,ny )?ni?1?k?f(x?ch,y?h??kininijj?j?1?2级Runge-Kuta法

1?b?1??12c2??yn?1?yn?hb1k1?hb2k21??（2阶精度） k?f(x,y)其中b??1?2nn2c2?k?f(x?ch,y?h?k?n2n211?2??21?c2??、2/3（Heun公式）、1（改进的Euler方法） c2的取值1/2（中点公式）

5）单步法yn?1?yn?hf(xn,yn,h)（*）

相容性：?(xn,yn,0)?f(xn,yn)则（*）式与初值问题相容

收敛性：对于固定的xn?x0?nh当h?0时有yn?y(xn)则称（*）式收敛

数值稳定性：若一数值方法在yn上有扰动Sn而于以后的各节点值ym(m?n)上产生的偏差均不超过Sn，则称该方法绝对收敛

?y'??y???R,??0试验方程：?用以求解绝对稳定区间 x??a,b? ????C,Re(?)?0?y(0)?y0绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定

6）线性多步法德一般格式：y(xn?1)?'?ay(xii?0p')?hby?n?ii(xn?i)

i??1p局部阶段误差Tn?C0y(xn)?C1hy(xn)? ?Cqhqy(q)(xn)?（系数通过Taylor展开构造）

p??C0?1??ai?i?0pp??其中?C1?1?[?(?i)ai??bi]

i?0i??1?p???1??pq?Cq??1???(?i)ai?q?(?i)q?1bi??q!??i?0?i??1???线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数r?2p?2 7）线性多步法的收敛性判断：C0?0C1?0称线性多步法相容 满足根条件：第一特征多项式?(r)?rp?1??airp?i，

i?0p?ip

第二特征多项式?(r)?i??1?brip

当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满足根条件

收敛?相容且满足根条件 8）数值稳定性判断：

稳定多项式（特征多项式）?(r,h?)??(r)?h??(r) 令h??h，ri(h)是稳定多项式的根，r0(h)?1?h??o(h)

①：若对任意h?[a,b]?R有ri(h)?r0(h)，且当ri(h)?r0(h)时，ri(h)为单根，则称

2[a,b]为相对稳定区间；

③ 若对任意h?[a,b]?R有ri(h)?1，则称[a,b]为绝对稳定区间

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.

n************,x2,x3,x4(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设

Y0?28,按递推公式

Yn?Yn?1?1783100 ( n=1,2,…)

计算到

Y100Y.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?

??27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求

?N1dx1?x2?

29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

S?10. 设

对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列

12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝

{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数

y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

字),计算到

6f?(2?1)12. 计算,取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)

13. f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大?

2ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)

14. 试用消元法解方程组

?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,

?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足

s??s?a?b?c???.sabc

第二章 插值法

1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

1Vn(x)?Vn(x0,x1,,xn?1,x)?11 证明

x0xn?1x2x0nx02xn?1nxn?1x2xnVn(x)是n次多项式,它的根是x0,Vn(x)?Vn?1(x0,x1,,xn?1,且 ,xn?1)(x?x0)(x?xn?1).

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 0.8 -0.223144

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,

研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.

xj6. 设

为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i) ii)

?xl(x)?x(k?0,1,kjjkj?0nn,n);

?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,2,n).

maxf(a)?f(b)?07. 设且,求证a?x?bxxf(x)?e?4?x?48. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截

f(x)?C?a,b??61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b

断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?

44n?y?yn. y?2nn9. 若,求及

10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).

11. 证明12. 证明

?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.

?f?gkk?0n?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0n?1

13. 证明

??j?0n?12yj??yn??y0.

f(x)?a0?a1x?14. 若

?an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,,xn,证明

?f?(x)j?1nxkj?15. 证明n阶均差有下列性质: i)

若F(x)?cf(x),则

j?0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.

F?x0,x1,,xn??cf?x0,x1,,27??,xn?;

F?x0,x1,ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则

0174f?2,2,f(x)?x?x?3x?116. ,求?,xn??f?x0,x1,01f?2,2,及?,xn??g?x0,x1,,28??.

,xn?.

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)

18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.

20. 设

?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)?(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).

并证明当n??时,n,把

f(x)?C?a,b?2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设

I(x)与f(x)的值,并估计误差.

计算各节点间中点处的h?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.

22. 求f(x)?x在

24?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差. f(x)?x23. 求在

24. 给定数据表如下: 0.25 xj 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 yj0.5000 试求三次样条插值S(x)并满足条件 i) ii)

f(x)?C2?a,b?S(x)25. 若,是三次样条函数,证明

i)

S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868;

S?(0.25)?S?(0.53)?0.

2b2b??ba?f?(x)?dx???S?(x)?dx??aa?f?(x)?S?(x)?dx?2?S?(x)?f?(x)?S?(x)?dxa2b;

ii) 若

baf(xi)?S(xi)(i?0,1,,n),式中

xi为插值节点,且

a?x0?x1??xn?b.

,则

S?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)

式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

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