Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b)
32. 设
?10099?A????9998?
cond(A)v(v?2,?)
计算A的条件数。
33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。
n?n?A,B?R34. 设且为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB)?cond(A)cond(B)。
第八章 解方程组的迭代法
1. 设方程组
(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代
?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1
终止．
?00?A???20??, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设
3. 证明对于任意选择的A, 序列
I,A,收敛于零． ４. 设方程组
121314A,A,A,?23!4!
?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2;迭代公式为
(a11,a12?0);
1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22? (k?1,2,?).
(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列
r?5. 设方程组
a12a21?1.a11a22
?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b)
?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证
limAk?Ak??的充要条件是对任何向量x，都有
7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组
limAkx?Ax.k??(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径； (b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；
(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）
111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4B0?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?211x??(,1,?)T,?(k)?6||x?x||?5?1022?精确解要求当时迭代终止，并且对每一个?值确定迭代次数。
10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）
(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。
?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1
11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式
?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。
(k?1)(k?1)xAx?bxi12. 用高斯－塞德尔方法解，用记的第i个分量，且
试证明当
0???2x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)
ri(k?1)i(k)i(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?in。
ri(k?1)x?x?ai；
(a) 证明
?(k)(k)?x??x?x(b) 如果，其中是方程组的精确解，求证：
?ri其中 (c) 设A是对称的，二次型
(k?1)(k?1)i??(k)i??aij?j?1i?1ri(k?1)?aii
(k?1)j??aij?i(k)j?in。
Q(?(k))?(A?(k),?(k))
Q(?(k?1))?Q(?(k))???n(rj(k?1))2aj?1jj证明 。
(d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向
量x是收敛的，则A是正定阵。
13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 其中z1,z2,d1,d2?R。
(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵
(m?1)(m)(m?1)(m)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);
n(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,
(m?1)(m)(m?1)(m?1)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);
?1aa??A??a1a????aa1??
111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?5123??0204??A???3?12?1???0307??，试说明A为可约矩阵。 15. 设
(k?1)(k)n?nx?Cx?gC?R(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的16. 给定迭代过程，，其中
?(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。
特征值i17. 画出SOR迭代法的框图。
18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；
T2cond(AA)?(cond(A))22(b) 求证。
T
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算
1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：
3?2??7?3?43????463?A1??34?1A?2??????31??3?, ??2?13?? , (b) (a)
当特征值有3位小数稳定时迭代终止。
2. 方阵T分块形式为
?T11T12?T1n???T?T222n?T???????Tnn??,
Tii(i?1,2,?,n)为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则
称T 为准三角形形式，用?(T)记矩阵T的特征值集合，证明
其中
?(T)???(Tii).i?1n3. 利用反幂法求矩阵
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 4. 求矩阵
?621??231?????111??
与特征值4对应的特征向量。
5. 用雅可比方法计算
?400??031?????013?? ?1.01.00.5??A??1.01.00.25????0.50.252.0??
的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。
6. (a)设A是对称矩阵，λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为
一个正交阵，使
证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 (b)对于矩阵
TPx?e1?(1,0,?,0)T
?2102??A??105?8????2?811??,
?212?x??,,?λ=9是其特征值，?333?是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px?e1，
T并计算B?PAP。
7. 利用初等反射阵将
T正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设A?Rn?n?134??A??312????421??
，且
ai1,aj1不全为零，
TAPijPij为使
2)a(j1?0的平面旋转阵，试推导计算
PijA第
i行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的计算公式。
AA9. 设n?1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是n?1的一个特征向量。
(a)证明矩阵A对应的特征向量是(b)对于给出的y应如何计算x？ 10. 用带位移的QR方法计算
x?P1P2?Pn?2y；
?120??310???121?A??2?11B????????013??, (b) ?011?? (a)
全部特征值。
11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵，
1??11?A??2?1?1????2?45??。
数值分析习题简答
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
第一章 绪论习题参考答案
?(x*)1． ε（lnx）≈
x*n??r(x*)??。
?r(x)?2．
n?(x)x*n?nx*n?1?(x*)nx*n?(x*)??0.02n*x。
****xxxx3． 1有5位有效数字，2有2位有效数字，3有4位有效数字，4有5位有效*x5数字，有2位有效数字。
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库数值分析复习资料(6)在线全文阅读。
相关推荐：